Контрольная работа по теории вероятности
.docxМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Уральский государственный экономический университет» в г. Березники
Кафедра экономики
Контрольная работа
по дисциплине: «Теория вероятностей»
Вариант №2
Выполнил:
студент 1 курса, группы БЭС-12
Григорьев М.А.
Проверил:
К.ф.-м.н., профессор
Кобзев Виктор Николаевич
Березники
2013
Вариант №2
Задание №1
В первой урне находятся 17 белых и 3 черных шаров, во второй урне – 4 белых и 4 черных шаров. Из первой урны во вторую переложили 2 шара, а затем из второй урны извлекли один шар.
Найти вероятность того что этот шар белый.
Решение:
Мы провели 3 опыта:
-
Из 1-ой урны во 2-ую переложили 1 шар
-
Из 1-ой урны во 2-ую переложили 1 шар
-
Из 2-ой урны извлекли 1 шар
Следовательно, дерево вероятностей содержит 3 уровня вершин и 2 возможных варианта исхода. Составим дерево вероятностей.
Достаем 1-ый шар из 1-ой урны |
||||||||||
Белый |
Черный |
|||||||||
2-ой шар из 1-ой урны |
2-ой шар из 1-ой урны |
|||||||||
Белый |
Черный |
Белый |
Черный |
|||||||
Шар из 2 урны |
Шар из 2 урны |
Шар из 2 урны |
Шар из 2 урны |
|||||||
Белый |
Черный |
Белый |
Черный |
Белый |
Черный |
Белый |
Черный |
|||
Б Б Б |
Б Б Ч |
Б Ч Б |
Б Ч Ч |
Ч Б Б |
Ч Б Ч |
Ч Ч Б |
Ч Ч Ч |
Всего 8 возможных путей, выбираем вероятности при которых шар извлеченный из 2 урны шар будет белым.
Вероятность того что шар извлеченный из 2 урны будет белый равна:
Задание №2
На заводах A и B изготавливают 90% и 10% всех деталей. Из прошлых данных известно, что 30% деталей завода А и 10% деталей завода В оказываются бракованными. Случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена на заводе А?
Решение:
Проводим 2 опыта:
-
Случайно выбираем завод
-
Случайно выбираем деталь
Составим дерево вероятностей.
Выбран завод |
||||
А |
В |
|||
Брак |
Не брак |
Брак |
Не брак |
|
Найдем процент брака на заводах А и В:
Найдем процент брака на заводе А:
Вероятность того, что бракованную деталь изготовили на заводе А будет равна:
Задание №3
Вероятность поражения стрелком мишени при одном выстреле равна . Найти вероятность того что при выстрелах мишень будет поражена не менее раз.
Решение:
Найдем вероятность поражения стрелком мишени используя интегральную теорему Лапласа.
=
Задание №4
Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту, равно . Найти вероятность того, что за время минуты прибудут:
-
самолетов
-
не менее самолетов
Поток предполагается простейшим.
Решение:
-
События и
противоположные.
Поэтому сумма их вероятностей равна 1.
Тогда,
Задание №5
Произведено независимых испытаний. В каждом из них вероятность появления события А равна . Найти вероятность того, что отклонение относительной частоты от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного числа .
Решение:
Где Ф функция Лапласа.
Задание №6
Дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями .
Найти ее математическое ожидание и дисперсию.
Решение:
Для определения математического ожидания и дисперсии дискретной СВ Х заполним таблицу.
4 |
0,4 |
1,6 |
16 |
6,4 |
7 |
0,5 |
3,5 |
49 |
24,5 |
1 |
0,1 |
0,1 |
1 |
0,1 |
Сумма |
1 |
5,2 |
66 |
31 |
Задание №7
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х имеет вид, показанный на графике. Найти неизвестное число m, функцию распределения F(x), математическое ожидание М(х) и дисперсию D(x).
Решение:
свойство функции f(x)
(геометрический смысл определенного интеграла)
На участке 1 и на участке 4
На участке 2 это отрезок прямой AB. Проходящей через точки , тогда
Следовательно
На участке 3 график f(x) это отрезок прямой СВ. Проходящей через точки , тогда
Следовательно
Найдем функцию распределения F(x). Известно, что
Воспользуемся геометрическим смыслом определенного интеграла.
Если , то и площадь под кривой равна 0.
Если , то
Если , то
Координаты точек М(х;0) и N(х;f(х)). Тогда
Если , то
Координаты точек
Тогда
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Задание №8
Плотность распределения вероятностей нормально распределенной случайной величины Х имеет вид
Найти неизвестно число , математическое ожидание M(X), дисперсию D(X),
вероятность выполнения неравенства и .
Решение:
Выделим полный квадрат в выражении:
Следовательно, из нормального закона распределения вероятностей:
Следовательно
-
и
Это стандартное отклонение.