- •§6. Линейные функции на линейном пространстве
- •1°. Определение функции. Линейные функции.
- •Обозначение:
- •Примеры:
- •2°. Сопряжённое пространство.
- •3°. Преобразования координат в сопряжённых пространствах.
- •§7. Билинейные функции на линейном пространстве
- •Примеры:
- •§8. Квадратичные формы
- •1. Определение. Теорема о поляризации.
- •Пример:
- •3°. Метод Якоби приведения к каноническому виду.
- •4°. Закон инерции квадратичных форм.
- •5°. Классификация квадратичных форм.
- •6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
4°. Закон инерции квадратичных форм.
Как было показано ранее, число отличных от нуля коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы не зависит от вида преобразования, с помощью которого приводится к каноническому виду. В действительности, не меняется число положительных и отрицательных коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм. А именно справедливо:
Теорема 4 (закон инерции квадратичных форм): Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в каноническом виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.
Доказательство: Пусть форма с помощью некоторого преобразования координат приводится к виду , а с помощью другого преобразования того же вида – к , для доказательства теоремы на показать, что .
От противного. Предположим, что . Убедимся, что есть ненулевой вектор : в новых координатах и , координаты и равны нулю, т.е.
Каждое из этих уравнений имеет вид:
=,
=.
с известными . Так как уравнений меньше, чем эти уравнения имеют ненулевое решение в силу равенства в новых переменных , т.е. – нулевой вектор, что противоречит тому, что – ненулевой предположение – неверно . В силу симметричности законов приведения – неверно . Что и требовалось доказать. ■
5°. Классификация квадратичных форм.
Определение 6. Индексом инерции квадратичной формы называется число отличных от нуля коэффициентов канонического вида (т.е. ранг формы), положительным (отрицательным) индексом – число положительных (отрицательных) коэффициентов.
Очевидно, что сумма положительных и отрицательных индексов инерции равна индексу инерции.
Обозначим – индекс инерции, положительный и отрицательный индексы соответственно, . Тогда квадратичная форма может быть приведена к виду в некотором базисе .
Утверждение 3: Для того, чтобы квадратичная форма , заданная в –мерном пространстве , была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы, либо , либо . Если , то форма положительно определена, если – отрицательно определена.
Доказательство: приведем для положительно определенной.
– положительно определена приводится к виду , если , то , .
Пусть и для – положительно определена.
Утверждение 4: Форма – знакопеременная и положительный и отрицательный индексы отличны от нуля.
Доказательство: квадратичная форма принимает и положительные и отрицательные значения в каноническом виде должны быть как положительные, так и отрицательные выражения
. |
(10) |
Если справедливо (10), то для , , а для , (10) – канонический вид знакопеременной формы.
Утверждение 5: Для того, чтобы была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения либо , , либо , .
Доказательство: Аналогично п. 4
6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
(позволяет исследовать без приведения к каноническому виду)
Пусть – квадратичная форма и – угловые миноры.
Теорема 5 (критерий Сильвестра): Для того, чтобы квадратичная форма была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства .
Для того чтобы, форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем 1<0
Доказательство: Докажем в начале, что из условия знакоопределенности следует, что
пусть . Рассмотрим систему ЛОУ
, то определитель система имеет нетривиальное решение. Пусть – такое решение. Умножая первое уравнение на –е на и складывая, получим : =0, т.е. получили, что квадратичная форма на ненулевом векторе обращается в нуль. Это противоречит знакоопределенности , . Поэтому можно применить теорему Якоби (теорема 3) и воспользоваться формулой для коэффициентов . Если – положительно определена, то все , так как , .
Если – отрицательно определенная форма, то , т.е. знаки угловых миноров чередуются.
Пусть выполнены условия, что , можно воспользоваться методом Якоби форма положительно определена.
Если знаки чередуются и , то форма отрицательно определена. Что и требовалось доказать. ■
Замечание: Отрицательный индекс инерции равен числу перемен знаков в последовательности определителей .