- •§6. Линейные функции на линейном пространстве
- •1°. Определение функции. Линейные функции.
- •Обозначение:
- •Примеры:
- •2°. Сопряжённое пространство.
- •3°. Преобразования координат в сопряжённых пространствах.
- •§7. Билинейные функции на линейном пространстве
- •Примеры:
- •§8. Квадратичные формы
- •1. Определение. Теорема о поляризации.
- •Пример:
- •3°. Метод Якоби приведения к каноническому виду.
- •4°. Закон инерции квадратичных форм.
- •5°. Классификация квадратичных форм.
- •6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
Примеры:
1. Рассмотрим пространство и пусть . Положим
где . Очевидно, что это билинейная форма.
2. Пусть – пространство и
Положим Это билинейная форма. Если
Задача. Показать, что если – линейные функции, то – билинейная.
Пусть мерное линейное пространство с базисом .
Если , то билинейная функция может быть вычислена следующим образом:
Здесь чисел является значением билинейной формы на всевозможных мерах базисных векторов и называются коэффициентами билинейной формы в базисе . Если ввести матрицу билинейной формы, то есть матрицу , таким образом . (1)
Рассмотрим изменение матрицы при переходе к другому базису.
, то есть
(2)
где – матрица билинейной функции в базисе .
Определение 2. Билинейная форма называется симметричной, если .
Если билинейная форма симметрична, то матрица билинейной формы симметрична.
Обратно, пусть матрица билинейной формы симметрическая, то есть
, то есть билинейная форма тоже симметричная. Итак,
Предложение. Билинейная форма симметрична её матрица – симметрическая (в произвольном базисе).
§8. Квадратичные формы
1. Определение. Теорема о поляризации.
Определение 1. Пусть – симметрическая билинейная форма. Функция , которая получается из , если положить , называется квадратичной формой.
называется билинейной формой, полярной к квадратичной форме . Из симметричности
Теорема 1. Полярная форма однозначно определяется своей квадратичной формой .
Доказательство: из определения билинейной формы следует
Справа стоят квадратичные формы билинейная форма определяется своей квадратичной формой. ■
Матрица симметричной билинейной формы называется матрицей, соответствующей квадратичной форме . Так как
в данном фиксированном базисе, где , то всякая квадратичная форма при заданном базисе выражается формулой:
, (1)
или в матричном виде,
(1)
Правая часть (1) – однородный многочлен второй степени относительно .Он содержит подобные члены в силу после приведения подобных, имеем
Еще два важных определения.
Определение 2. Квадратичная форма называется
1) положительно (отрицательно) определенной, если
(такие формы называются знакоопределенными).
2) знакопеременной, если
.
3) квазизнакоопределенной, если или , но .
Далее будут указаны признаки, по которым форму можно отнести к каждому из классов.
Пример: – положительно определенная.
Пусть – положительно определенная квадратичная форма, - её полярная форма. Тогда в силу сформулированных выше определений имеем:
1.
2.
3.
4.
Как видно, эти аксиомы совпадают с аксиомами скалярного произведения
Предложение 1. Скалярное произведение есть билинейная форма, соответствующая положительно определенной квадратичной форме, и любая такая форма может быть принята за скалярное произведение.
Определение скалярного произведения может быть сформулировано как:
Определение 3. Евклидовым пространством называется линейное пространство, в котором выбрана какая–либо фиксированная положительно определенная форма . Значение соответствующей ей билинейной формы считается при этом скалярным произведением векторов (оно ранее обозначалось как , а не ).
Определение 4. Ранг матрицы квадратичной формы называется рангом квадратичной формы.
Если , то форма называется невырожденной, если – то вырожденной.
Далее нам понадобятся следующие две леммы о рангах матрицы.
Пусть и .
Лемма 1: Ранг произведения матриц не больше ранга любого из сомножителей, т.е.
(2)
(3)
Доказательство: Докажем равенство (3). В начале тривиальные случаи:
-
если , то – нулевая – нулевая , т.е. (3) доказано.
-
если (число столбцов), то также очевидно, так как – число столбцов в .
Далее пусть и . Тогда имеет базисных столбцов и хотя бы один столбец, не принадлежащий этой системе. Пусть базисных столбцов – это первые столбцы. Тогда –ый столбец, , выражается через них по теореме о базисном миноре:
, т.е. .
По определению произведения матриц имеем: . Тогда , т.е. в матрице столбец с номером , также выражается через ее первые столбцов:
Значит, всех столбцов матрицы не больше , т.е. , т.е. (3) доказано.
Для доказательства (2) перейдем к транспонированным матрицам: . ■
Замечание: Из Леммы 1 не следует, что первые столбцов матрицы линейно независимы.
Лемма 2: Пусть и – невырожденны. Тогда не изменяется при умножении на и на , т.е.
Доказательство: Пусть (по Лемме 1). Но ч.т.д. ■
2°. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Очевидно, что выражение (1) квадратичной формы через координаты вектора зависит от выбора базиса в линейном пространстве. Оказывается, выбирая базис определенным образом, можно привести квадратичную форму к некоторому простейшему виду, а именно, справедлива
Теорема 1: Для каждой квадратичной формы базис, в котором
(4)
т.е. матрица квадратичной формы является диагональной.
Доказательство: По индукции по числу переменных
-
при в произвольном базисе квадратичная форма имеет диагональный вид.
-
пусть справедливо для квадратичной формы от переменной и докажем для переменных. Пусть в произвольном базисе
.
Если все , то матрица диагональна. Далее будем рассматривать случай, когда хотя бы одно .
Рассмотрим два случая:
-
все . Тогда перенумерованием переменных можно добиться, что , т.е. имеется слагаемое . Заменим координаты по формуле:
.
Этой замене соответствует матрица , причём с определитель не равен 0. Т.е. это матрица – матрица перехода к новому базису.
При этой замене член перейдет в и так как по предположению , то он ни с чем не может сократиться и значит коэффициент при не равен 0.
Таким образом, при необходимости делая перенумерование, мы всегда можем рассматривать случай
2) . Тогда в квадратичной форме выделим все члены, содержащие :
:
Дополним эту сумму до полного квадрата:
,
где через обозначены члены, содержащие лишь квадраты и попарные произведения членов . Подстановка этого выражения в (1) дает
,
где – квадратичная форма от переменной .
Согласно предположению индукции, замена переменных
,
согласно которой приводится к виду
Положим и получим для диагональный вид. Последняя замена имеет матрицу и .
Обратная к ней матрица является матрицей перехода к искомому базису. ▄
Замечание 1. Способ приведения квадратичной формы к диагональному виду, данный в доказательстве, называется методом выделения квадратов.