II семестр
§1. Евклидово пространство
Евклидово пространство – это линейное пространство с некоторым образом введенной операцией «скалярного произведения».
1. Определение и простейшие свойства.
Определение 1.
Линейное
пространство
над полем вещественных чисел R
называется евклидовым
пространством,
если
определено
правило, ставящее им в соответствие
вещественное число, называемое скалярным
произведением
и
,
обозначаемое
,
и удовлетворяющее следующим аксиомам:
1) коммутативность:
выполняется
;
2) дистрибутивность:
выполняется
;
3)
и
выполняется
;
4)
выполняется
,
причем
Примеры.
1) Множество векторов
в
с обычным образом определенным скалярным
произведением векторов (см. свойства
скалярного произведения) образует
евклидово пространство.
2) Множество
непрерывных на отрезке
функций образует евклидово пространство,
если скалярное произведение задается
формулой:
Свойство 1)
скалярного произведения очевидно, 2) и
3) следуют из линейности интеграла, 4)
следует из того, что
от
неотрицательной функции неотрицателен
и равен нулю только если
.
3) Пространство
упорядоченных
вещественных чисел образует евклидово
пространство со скалярным произведением,
задаваемым следующей формулой: если
и
из
,
то
(1)
Свойство 1) −
очевидно, свойства 2) и 3) следуют из
определения сложения векторов в
и умножения на число, т.е.
;
.
Свойство 4) следует
из того, что
и
равно нулю лишь тогда когда
,
т.е.
.
4) Пусть
− матрица над
и пусть
– симметричная, т.е.
.
Для любого
используем
для построения выражения
.
Такое выражение называется квадратичной
формой. Будем
предполагать, что такая форма положительно
определена, т.е.
она больше нуля и равна нулю лишь если
.
Такую матрицу
можно использовать для задания скалярного
произведения в
следующим образом:
,
. (2)
Свойство 1) следует
из симметричности матрицы
,
2) и 3) − из свойств вещественных чисел,
4) − из положительной определенности
соответствующей квадратичной формы.
Замечание.
Формула (1)
из (2) при
− единичная матрица.
Теорема 1
(неравенство Коши–Буняковского). Для
любых элементов
евклидового
пространства
справедливо неравенство:
. (3)
Неравенство (3) называется неравенством Коши–Буняковского.
Доказательство:
По аксиоме
4) евклидова пространства
справедливо
//так как квадратный
трехчлен по
неотрицателен
дискриминант
//
■
Определение 2.
Линейное пространство
называется нормированным,
если определено правило, по которому
ставится в соответствие вещественное
число, называемое нормой
(или длиной)
указанного элемента и обозначаемое
,
удовлетворяющее следующим трем аксиомам:
1)
.
2)
.
3)
справедливо
(неравенство треугольника или неравенство
Минковского).
Теорема 2. Всякое
евклидово пространство является
нормированным, если в нем норму элемента
определить
равенством
Доказательство: Проверим свойства нормированного пространства: аксиома 1) следует из 4) евклидова пространства, 2) следует из аксиом 1) и 3) евклидова пространства, 3) следует из неравенства Коши–Буняковского. Действительно,
.
■