Примеры.
1) В пространстве
геометрических векторов с обычным
скалярным произведением неравенства
Коши–Буняковского и Минковского имеют
вид:
, 
.
Первое неравенство
в силу
означает, что
,
второе − что длина стороны треугольника
не превосходят суммы длин двух других
сторон.
2) В
неравенства Коши–Буняковского и
Минковского дают:
.
3) В
с обычным скалярным произведением и
имеем
неравенство Коши–Буняковского
;
неравенство Минковского
.
4) В
со скалярным произведением с положительно
определённой симметрической матрицей
имеем
неравенство Коши–Буняковского
;
неравенство Минковского
.
Замечание.
Если векторное пространство
дано над полем
,
то аналогично строится теория унитарных
(или эрмитовых)
пространств. В этом случае аксиомы 1) и
4) принимают соответственно вид:
1)
,
4)
и
,
если
.
Отметим, что неравенство Коши–Буняковского в этом случае принимает вид:
.
В
–мерном
комплексном координатном пространстве
C
стандартное скалярное произведение
векторов
C
задается формулой
.
2. Ортогональные и ортонормированные системы векторов.
Из неравенства Коши–Буняковского следует, что корректно можно ввести следующее
Определение 3.
Для любых
принадлежащих евклидовому пространству
определен угол
между ними:
.
Определение 4.
Элементы
называются ортогональными,
если их скалярное произведение равно
нулю, то есть
.
Тогда
.
Очевидно, что если
ортогонален
,
то
ортогонален
.
Лемма 1.
Нулевой вектор ортогонален любому
вектору из
и является единственным вектором,
обладающим этим свойством.
Доказательство самостоятельно.
Определение 5.
Сумму
двух ортогональных векторов
назовем гипотенузой
треугольника, построенного на векторах
.
Лемма 2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство:
.■
Обобщение.
Если
− взаимно ортогональны
.
Определение 6.
Система векторов евклидова пространства
называется ортогональной,
если она либо состоит из одного вектора,
либо её векторы попарно ортогональны.
Теорема 3. Всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства является линейно независимой.
Доказательство:
Пусть
− ортогональная система векторов и
пусть
с некоторыми
постоянными
.
Умножая это
равенство скалярно на
,
получаем
Т.к.
все
− линейно независимы. ■
Определение 7. Ортогональная система, состоящая из векторов единичной длины, называется ортонормированной.
Определение 8.
В
–мерном
евклидовом пространстве
система
ортонормированных векторов образует
ортонормированный
базис.
Теорема 4.
Во всяком
–мерном
евклидовом пространстве
существует ортонормированный базис.
Доказательство:
Т.к. пространство
−
–мерное,
то существуют
векторов
,
которые линейно независимы. Покажем,
что можно построить и векторы
,
получающиеся как линейные комбинации
,
которые образуют ортонормированный
базис. Доказательство методом
математической индукции:
Если
− очевидно, т.к.
Пусть удалось
построить
векторов
,
которые попарно ортогональны, их нормы
равны единице, и получены как линейные
комбинации
.
Будем искать вектор
.
Выберем
так, чтобы
был ортогонален
.
Умножая
скалярно на
,
в силу ортонормированности
имеем:
//т.к.
//
Очевидно, что
полученный
,
т.к. он является линейной комбинацией
система
− ортонормированная и получена как
линейная комбинация
.
■
Замечание 1. В доказательстве теоремы 4 использовался следующий алгоритм ортогонализации системы векторов, известный как алгоритм Грамма–Шмидта:
пусть
− линейно независимы. Тогда попарно
ортогональные единичные вектора
получаются по следующим формулам:
|
|
(4) |
Замечание 2.
В любом евклидовом пространстве можно
построить много ортонормированных
базисов. Примером ортонормированного
базиса в
с обычным скалярным произведением могут
служить вектора
Рассмотрим
произвольный ортонормированный базис
-мерного
евклидова пространства
.
Пусть
− произвольный вектор и
.
Умножая обе части
равенства скалярно на
получим:
,
т.е. координаты
произвольного вектора относительно
ортонормированного базиса равны
скалярным произведениям этого вектора
на соответствующие базисные векторы.
Поскольку скалярное произведение
на вектор
,
естественно назвать проекцией
на
,
то, следовательно, координаты произвольного
относительно ортонормированного базиса
равны проекциям этого элемента на
соответствующие базисные элементы.
Таким образом, ортонормированный базис похож на декартовый прямоугольный базис.