3. Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей. Матрица Грама.
Пусть в произвольном евклидовом пространстве задан базис . Это позволяет представить в виде . Вычислим скалярное произведение :
.
Отсюда следует, что если базис − ортонормированный, то есть , то
.
Теорема 5. В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Если же базис {} − произвольный, то произведения обозначим и введем в рассмотрение квадратную матрицу
= = ,
называемую матрицей Грамма базиса {}. В силу коммутативности скалярного произведения , т.е. матрица Грама симметрическая.
Обозначим = , . Тогда скалярное произведение можно переписать в матричном виде:
.
Если {} − ортонормированный, то и .
Рассмотрим два базиса {} и {}, связанные при помощи матрицы перехода : если и , т.е. . Тогда для базиса {} матрица Грама имеет вид:
. |
(5) |
Эта формула даёт связь между матрицами Грама для двух связанных между собой базисов. Равенство (5) в матричном виде имеет вид:
, |
(6) |
что легко проверить прямыми вычислениями.
Рассмотрим последнюю формулу в частном случае, когда {} – ортонормированный. Тогда и формула (6) имеет вид:
Г =
вычисляя определитель в силу теоремы об определителе произведения матриц, имеем:
detГ= det() det = (det).
Так как {} – произвольный базис // т.к. det0 //
Теорема 6. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.
Эта теорема может быть усилена:
Теорема 7. Пусть ,…, − произвольные (не обязательно линейно независимые) вектора в евклидовом пространстве. Тогда определитель матрицы
,
составленной из попарных скалярных произведений, положителен, если вектора линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.
Доказательство: Первое утверждение теоремы следует из теоремы 6, т.к. если ,…, − линейно независимы, то они образуют базис в своей линейной оболочке.
Докажем второе утверждение. Если векторы – линейно зависимы, то выполнено равенство , где хотя бы одно . Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов получим систему уравнений
,
которой удовлетворяет ненулевое решение определитель матрицы этой системы равен нулю.■
Замечание. Доказанная теорема обобщает неравенство Коши–Буняковского, которое имеет место при .
4˚. Ортогональное дополнение к линейному подпространству.
Определение 9. Два множества и векторов евклидова пространства называются ортогональными, если каждый вектор первого множества ортогонален к каждому вектору второго.
В частности, будем говорить, что вектор ортогонален к множеству , если ортогонален каждому .
Ортогональность и обозначается .
Лемма 3. Если два множества и ортогональны, то их пересечение либо пусто, либо состоит только из нулевого вектора.
Доказательство: На самом деле, если и . ■
Следствие. Сумма ортогональных подпространств всегда является прямой суммой.
Доказательство: Это следует из того, что их пересечение в силу леммы 3 состоит только из нулевого вектора сумма прямая. ■
Пусть – подпространство евклидового пространства.
Определение 10. Ортогональным дополнением подпространства E называется множество всех векторов, перпендикулярных каждому вектору из .
Ортогональное дополнение к обозначается .
Очевидно, что – линейное подпространство; на самом деле, если , а , то (u+v,w) = (u,w)+ (v,w) = О u + v U,что и требовалось доказать.
Теорема 8. Евклидово пространство есть прямая сумма любого своего подпространства U и его ортогонального дополнения U.
Доказательство: Пусть dimU=k и пусть e,…, e − ортонормированный базис в U. В силу теоремы 7 из параграфа 11 (Часть 1) эти вектора можно дополнить до базиса во всём пространстве . Применяя к ним процесс ортогонализации Грама-Шмидта, получим ортонормированный базис e,…, e евклидова пространства .
Любой элемент хЕ может быть разложен по этому базису:
x = xe+…+ xe+ xe+… +xe,
т.е. х=x+x, где x = xe+…+ xeU, а x = xe+… +xeU,
в силу ортонормированности базиса. Следовательно, в силу следствия к лемме 3, сумма U и U – прямая сумма. ■
Следствие 1. (U) = U.
Следствие 2. может быть единственным образом представлен в виде х= x+x, где xU, xU. При этом x называется ортогональной проекцией вектора на подпространство U, а x − ортогональной составляющей относительно U.
Задача. В Е подпространство U натянуто на векторы =(1,0,1,1), и =(0,1,1,–1). Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора =(1,2,0,1) на подпространство U.
Решение. 1 способ. Вектора и − ортогональны. Нормируя их, получаем:
= (1;0;1;1); = (0;1;1;–1). Если = x+x+ x+x, то
x = (,) = ; x = (,) = Если x = x+x
x = x+x = (;;1;). ;;–1;).
2 способ. Применим процесс ортогонализации к базису в : .
Выберем = (0;0;1;0), = (0;0;0;1) ортогонализация даёт:
= – (,e)e – (,e) e = (–;–;;0)
= (–;–;;0). Аналогично, = (–;;0;).
Решим систему:
x=, x=, x=-, x= x=x+x; x=x+x.
-