- •§6. Линейные функции на линейном пространстве
- •1°. Определение функции. Линейные функции.
- •Обозначение:
- •Примеры:
- •2°. Сопряжённое пространство.
- •3°. Преобразования координат в сопряжённых пространствах.
- •§7. Билинейные функции на линейном пространстве
- •Примеры:
- •§8. Квадратичные формы
- •1. Определение. Теорема о поляризации.
- •Пример:
- •3°. Метод Якоби приведения к каноническому виду.
- •4°. Закон инерции квадратичных форм.
- •5°. Классификация квадратичных форм.
- •6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
Пример:
Определение 5: Диагональный вид квадратичной формы в вещественном пространстве называется каноническим, если коэффициенты .
В комплексном пространстве вид канонический, если .
Базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называется каноническим. Он, обычно, определен неоднозначно.
Следствие (к Теореме 1). Для каждой квадратичной формы базис, в котором она имеет канонический вид.
Доказательство. В начале приведем к диагональному виду, а затем, если , то остаётся без изменения, если , то замена .
Очевидно, что после этого получается канонический вид и эта замена невырожденная. ■
Замечание 2 (о ранге квадратичной формы). После приведения квадратичной формы к диагональному виду часть перенумеровывает так, что первые переменных имеют ненулевые (первые слагаемых имеют коэффициент 1, остальные (–1)) и далее 0:
.
Ясно, что . Очевидно, что в силу Лемм 1и 2, при переходе к новому базису ранг не меняется и значит, т.к. он для канонического вида равен , то и в другом базисе равен . Более того, при любом приведении к каноническому виду число отличных от нуля канонических коэффициентов одно и то же и равно рангу квадратичной формы.
3°. Метод Якоби приведения к каноническому виду.
Дает формулы, выражающие искомый канонический базис через исходный .
Теорема 3: Пусть в базисе квадратичная форма имеет вид , . Пусть определители
(5) |
Тогда существует базис , в котором записывается в виде суммы квадратов следующим образом , где и – координата вектора в базисе .
Дающийся в теореме способ приведения квадратичной формы к сумме квадратов называется методом Якоби.
Доказательство: Необходимо определить новый базис так, что при . процесс построения таких совпадает с процессом ортогонализации, если заменить скалярное произведение векторов произвольной формой, удовлетворяющей условиям (5).
Будем искать в виде:
(6) |
Коэффициенты можно было бы найти из условия при .однако это привело бы к решению уравнений второго порядка на . Поступим иначе.
Если , для , то , для . Действительно, подставляя вместо выражение , получаем если , и то в силу симметрии билинейных форм . То задача свелась к следующей: определить так, что удовлетворяли условиям
, для . |
(7) |
Этими условиями определяются с точностью до постоянного множителя. Зафиксируем этот множитель условием
. |
(8) |
Сейчас увидим, что требования (7), (8) определяют вектор однозначно. Действительно, подставляя в (7), (8) выражение для , имеем:
. |
(9) |
По условию (5) определитель этой системы линейных уравнений отличен от нуля по теореме Крамера решение !
Теперь найдем коэффициенты квадратичной формы в базисе . Так как , то по построению при .
Вычислим |в силу (7), (8)|= по правилу Крамера, из (9) . Что и требовалось доказать. ■
Замечание: приведенный выбор канонического базиса не единственный.
Пример: Привести к диагональному виду форму , данную в базисе , , .
, , т.е. не обращаются в нуль, т.е. условия теоремы выполнены.
Положим:
соответствующая билинейная форма имеет вид
из . Для и имеем уравнения и .
Наконец, для , и имеем систему уравнений:
т.е. , , , , , т.е. .
.