- •§6. Линейные функции на линейном пространстве
- •1°. Определение функции. Линейные функции.
- •Обозначение:
- •Примеры:
- •2°. Сопряжённое пространство.
- •3°. Преобразования координат в сопряжённых пространствах.
- •§7. Билинейные функции на линейном пространстве
- •Примеры:
- •§8. Квадратичные формы
- •1. Определение. Теорема о поляризации.
- •Пример:
- •3°. Метод Якоби приведения к каноническому виду.
- •4°. Закон инерции квадратичных форм.
- •5°. Классификация квадратичных форм.
- •6°. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.
3°. Преобразования координат в сопряжённых пространствах.
Ранее мы рассмотрели вопрос преобразования координат векторов линейного пространства при переходе от одного базиса к другому и установили, что если переход от старого базиса к новому осуществляется с помощью матрицы перехода , то координаты произвольного вектора в новом базисе выражаются через его координаты в старом с помощью матрицы , обратной к матрице .
Займемся теперь следующей задачей. Пусть в пространствах и заданы по два биортогональных базиса и известны матрицы перехода от одного базиса к другому в одном из сопряженных пространств. Требуется установить, по каким законам преобразуются контравариантные и ковариантные векторы.
Итак, пусть и – два базиса пространства . Первую пару биортогональных базисов будем называть старыми базисами пространств соответственно и , а вторую пару – новыми. Пусть, далее, переход от старого базиса пространства к новому осуществляется при помощи матрицы :
. (7)
Найдем теперь матрицу перехода от старого базиса пространства к новому базису . Но сначала найдем матрицу , обратную к матрице , т.е. матрицу перехода от к :
; . |
(8) |
С этой целью вычислим двумя способами скалярное произведение : один раз подставляя значения из разложения (7), другой – значения из разложения (8):
Сравнивая правые части полученных равенств, заключаем, что совпадает с . Различие между формулами (7) и (8) состоит в том, что суммирование в разложении (7) производится по индексу строки (по верхнему индексу) матрицы , а в разложении (8) – по индексу столбца (по нижнему индексу) матрицы . Поэтому в литературе можно встретить утверждение, что «матрица , обратная к матрице , является транспортированной к матрице ». Это обусловлено также тем, что зачастую в литературе и координаты вектора , и базисные вектора записывают в виде матрицы–столбца. Таким образом, получим
.
Установим теперь формулы преобразования координат произвольных (контравариантных и ковариантных) векторов пространств и .
Пусть произвольный вектор пространства имеет в базисах и соответственно координаты и :
и .
Пусть и – соответствующие биортогональные базисы. Тогда , с другой стороны,
,
поэтому . Отсюда следует, что координаты вектора пространства преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса в .
Аналогично можно показать, что координаты произвольных векторов пространства преобразуются по тем же формулам, что и векторы взаимного базиса пространства :
.
Таким образом, мы пришли к следующему заключению: при переходе от старой системы координат к новой, ковариантные векторы преобразуются с помощью матрицы (матрицы перехода от старого базиса к новому в пространстве ), а контравариантные векторы – с помощью матрицы , обратной к матрице .
§7. Билинейные функции на линейном пространстве
Определение 1. Билинейной функцией (или билинейной формой) на линейном пространстве называется функция от двух векторов :
1. При фиксированном , – линейная функция ;
2. При фиксированном , – линейная функция.
Иными словами,