3.6.9. Линии и поверхности второго порядка (4 часа)

3.6.9.1. Эллипс, гипербола, парабола: каноническое уравнения, полярные уравнения, исследование формы. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду (3 часа).

3.6.9.2. Поверхности второго порядка: канонические уравнения, построение методом сечений (1 час).

3.6.10. Евклидовы пространства (3 часа)

3.6.10.1. Ортогональные и ортонормированные системы векторов. Алгоритм Грамма-Шмидта ортогонализации системы векторов (1 час).

3.6.10.2. Вычисление скалярного произведения векторов в координатах. Матрица Грамма. Построение ортогонального дополнения к линейному подпространству (2 часа).

3.6.11. Аффинные пространства (7 часов)

3.6.11.1. Преобразование аффинных координат при переходе от одного базиса к другому и при переносе начала координат (1 час).

3.6.11.2. Векторная и координатная параметрическая формы записи уравнения плоскости в аффинном пространстве. Задание плоскостей в аффинном пространстве как решения системы линейных уравнений (1 час).

3.6.11.3. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве (3 часа).

3.6.11.4. Расстояние от точки до плоскости в евклидовом точечном пространстве. Нормальное уравнение гиперплоскости в евклидовом точечном пространстве (1 час).

3.6.11.5. Вычисление объема параллелепипеда, построенного на k векторах (1час).

3.6.12. Билинейные и квадратичные функции (6 часов)

3.6.12.1. Задание линейной функции на линейном пространстве в фиксированном базисе. Преобразование коэффициентов линейной функции при переходе к другому базису. Сопряженное пространство, биортогональный базис. Использование взаимных базисов для вычисления скалярного произведения. Преобразование базисов в сопряженном пространстве и координат векторов в сопряженных пространствах (2 часа).

3.6.12.2. Задание билинейной функции на линейном пространстве в фиксированном базисе: матрица билинейной функции. Преобразование матрицы билинейной функции при переходе от одного базиса к другому (2 час).

3.6.12.3. Квадратичная форма. Методы Лагранжа и Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы (2 часа).

3.6.13. Линейные преобразования векторных пространств (6 часов)

3.6.13.1. Матрица линейного преобразования векторных пространств, преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому. Операции над линейными преобразованиями. Линейное пространство линейных преобразований, его размерность. Обратное преобразование. Ядро и образ линейного преобразования. (2 часа).

3.6.13.2. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора, их нахождение. Диагонализация матрицы линейного оператора в базисе собственных векторов. Присоединенные векторы линейного преобразования, корневое подпространство. Жорданова форма матрицы линейного оператора (4 часа).

3.6.14. Линейные преобразования евклидовых пространств (4 часа)

3.6.14.1. Линейное преобразование, сопряженное данному, матрица сопряженного преобразования. Ортогональные преобразования, диагонализация симметрической матрицы ортогональными преобразованиями (2 часа).

3.6.14.2. Линейное преобразование, присоединенное к билинейной функции. Построение ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид (2 часа).

3.6.15. Общая теория линий и поверхностей второго порядка (4 часа)

3.6.15.1. Преобразования гиперповерхностей второго порядка в вещественном аффинном пространстве. Инварианты гиперповерхностей второго порядка. Использование инвариантов гиперповерхностей второго порядка для классификации линий второго порядка на плоскости и поверхностей второго порядка в пространстве (4 часа).

3.6.16. Алгебра тензоров (6 часов)

3.6.16.1. Контравариантные и ковариантные векторы, законы преобразования их координат. Операции над тензорами: сложение, умножение, транспонирование, свертывание, симметрирование и альтернирование тензоров (4 часа).

2.16.2. Фундаментальный метрический тензор в евклидовом пространстве. Поднятие и опускание индекса. Длина вектора и угол между векторами (2 часа).

3.7 Внеаудиторная самостоятельная работа

Внеаудиторная самостоятельная работа предполагает проработку конспектов лекций и литературы, выполнение домашних заданий и типовых расчетных работ, подготовку в контрольным работам и коллоквиумам.

3.7.1. Семестр 1 (91 час).

3.7.1.1. Работа с лекциями и литературой, подготовка домашних заданий (65 часов).

3.7.1.2. Подготовка к коллоквиуму (10 часов).

3.7.1.3. Выполнение расчетно-графической работы по системам линейных уравнений и векторным пространствам (8 часов).

3.7.1.4. Выполнение расчетно-графической работы по аналитической геометрии (8 часов).

3.7.2. Семестр 2 (91 час).

3.7.2.1. Работа с лекциями и литературой, подготовка домашних заданий (65 часов).

3.7.2.2. Подготовка к коллоквиуму (10 часов).

3.7.2.3. Выполнение расчетно-графической работы по плоскостям в аффинных пространствах, билинейным и квадратичным функциям (8 часов).

3.7.2.4. Выполнение расчетно-графической работы по линейным преобразованиям в векторных и евклидовых пространствах (8 часов).

4 УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

4.1 Литература

4.1.1 Основная

4.1.1.1 Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Наука, 1977.

4.1.1.2 Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. – М: Физматлит, 1994.

4.1.1.3 Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М: Физматлит, 2002.

4.1.1.4 Сборник задач по алгебре: Учебное пособие / Под редакцией А.И. Кострикина. – М.: Факториал, 1995.

4.1.1.5 Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М: Физматлит, 2001.

4.1.2 Дополнительная

4.1.2.1 Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Добросвет, Московский центр непрерывного математического образования, 1990.–320 с.

4.1.2.2 Размыслович Г.П., Феденя М.М., Ширяев В.М. Геометрия и алгебра. – Минск: изд-во «Университет», 1987. – 352 с.

4.1.2.3 Курош А.Г. Курс высшей алгнбры. – М.: Наука, 1971. – 432 с.

4.1.2.4 Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974. – 296 с.

4.1.2.5 Рублев А.Н. Линейная алгебра. – М.: Высшая школа, 1968. – 384 с.

4.1.2.6 Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. – М.: Наука, 1965. – 228 с.

4.1.2.7 Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. – М.: Наука, 1968. – 912 с.

4.1.2.8 Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М.: Просвещение, 1993. – 288 с.

4.1.2.9 Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М.: Наука, 1967. – 384 с.