2.5. Раздел «Линейные пространства»

2.5.1. Линейное пространство и его свойства. Примеры линейных пространств, n–мерное координатное пространство.

2.5.2. Линейно зависимые и независимые вектора, их свойства. Базис и размерность линейного пространства. Операции над векторами, заданными своими координатами.

2.5.3. Изоморфизм линейных пространств.

2.5.4. Подпространство линейного пространства. Линейная оболочка векторов как пример подпространства. Размерность подпространства. Теорема о возможности дополнения системы независимых векторов до базиса линейного пространства. Теорема о размерности линейной оболочки векторов. Равенство ранга матрицы числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

2.5.5. Сумма и пересечение подпространств. Прямая сумма подпространств.

2.5.6. Замена базиса в линейном пространстве. Невырожденность матрицы перехода. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.

2.6. Раздел «Системы линейных уравнений»

2.6.1. Элементарные преобразования матрицы. Теорема о неизменности ранга матрицы при элементарных преобразованиях.

2.6.2. Ступенчатая матрица, приведение матрицы к ступенчатому виду. Ранг ступенчатой матрицы.

2.6.3. Теорема Крамера. Формула Крамера.

2.6.4. Условия совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

2.6.5. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

2.6.6. Использование метода Гаусса для построения обратной матрицы.

2.6.7. Свойства решений систем линейных однородных и неоднородных уравнений.

2.7. Раздел «Векторная алгебра»

2.7.1. Множество геометрических векторов как линейное пространство над полем действительных чисел.

2.7.2. Коллинеарные, компланарные вектора. Условия линейной зависимости векторов. Базисы геометрических векторов на прямой, плоскости и в пространстве.

2.7.3. Проекция вектора на ось, скалярное произведение векторов. Векторное и смешанное произведения векторов. Двойное векторное произведение.

2.8. Раздел «Прямые линии и плоскости»

2.8.1. Аффинные системы координат на прямой, плоскости, в пространстве. Прямоугольная система координат. Полярные, цилиндрические и сферические координаты. Задача о делении отрезка в данном отношении.

2.8.2. Способы задания кривых и поверхностей уравнениями: явные и параметрические уравнения.

2.8.3. Прямая линия на плоскости: различные виды уравнений прямой, взаимное расположение двух прямых, угол между прямыми, расстояние от точки до прямой.

2.8.4. Плоскость: различные виды уравнения плоскости, взаимное расположение двух плоскостей, угол между плоскостями, нормальное уравнение плоскости, расстояние от точки до плоскости.

2.8.5. Прямая линия в пространстве: различные виды уравнений прямой, взаимное расположение двух прямых в пространстве, прямой и плоскости в пространстве.

2.8.6. Решение некоторых классических задач о прямой и плоскости в пространстве (расстояние между скрещивающимися прямыми, перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым и т.д.).

2.9. Раздел «Линии и поверхности второго порядка»

2.9.1. Определение кривых второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола: определение, вывод канонического уравнения, исследование формы.

2.9.2. Эксцентриситет и директриса эллипса, параболы и гиперболы. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы.

2.9.3. Исследование уравнения второго порядка, приведение кривой второго порядка к каноническому виду, девять канонических видов уравнений.

2.9.4. Поверхности второго порядка, их классификация, канонические уравнения, исследование методом сечений.