2 Семестр

2.10. Раздел «Евклидовы пространства»

2.10.1. Евклидово пространство, его свойства.

2.10.2. Нормированные пространства, норма в евклидовом пространстве.

2.10.3. Ортогональные и ортонормированные системы векторов, их свойства (ортогональность нулевого элемента, теорема Пифагора, линейная независимость). Алгоритм Грамма-Шмидта ортогонализации системы векторов.

2.10.4. Вычисление скалярного произведения векторов в координатах. Матрица Грамма, ее свойства.

2.10.5. Ортогональное дополнение к линейному подпространству, его свойства.

2.11. Раздел «Аффинные пространства»

2.11.1. Аффинные пространства, их свойства. Аффинные координаты, преобразование аффинных координат при переходе от одного базиса к другому и при переносе начала координат.

2.11.2. Плоскости в аффинном пространстве. Векторная и координатная параметрическая формы записи уравнения плоскости в аффинном пространстве.

Задание плоскостей в аффинном пространстве как решения системы линейных уравнений.

2.11.3. Взаимное расположение плоскостей в аффинном пространстве.

2.11.4. Евклидово точечное пространство, основные метрические формулы.

Расстояние от точки до плоскости. Нормальное уравнение гиперплоскости в евклидовом точечном пространстве.

2.11.5. Объем системы векторов, его свойства (неотрицательность, неравенство Адамара). Вычисление объема параллелепипеда, построенного на k векторах.

2.11.6. Ортогональные матрицы. Ориентация пространства. Объем ориентированного параллелепипеда.

2.12. Раздел «Билинейные и квадратичные функции»

2.12.1. Линейные функции на линейном пространстве: определение, задание в некотором фиксированном базисе. Преобразование коэффициентов линейной функции при переходе к другому базису.

2.12.2. Сопряженное пространство, изоморфизм линейного пространства и сопряженного к нему. Биортогональный базис, его существование и единственность. Использование взаимных базисов для вычисления скалярного произведения. Преобразование базисов в сопряженном пространстве и координат векторов в сопряженных пространствах.

2.12.3. Билинейные функции на линейных пространствах: определение, матрица билинейной функции, ее преобразование при переходе от одного базиса к другому. Симметричность билинейной функции.

2.12.4. Квадратичная форма. Теорема о поляризации. Использование положительно определенных квадратичных форм для задания скалярного произведения.

2.12.5. Методы Лагранжа и Якоби приведения квадратичной формы к каноническому виду.

2.12.6. Закон инерции квадратичных форм.

2.12.7. Индексы квадратичной формы. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

2.13. Раздел «Линейные преобразования векторных пространств»

2.13.1. Линейные преобразования векторных пространств: определение, матрица линейного преобразования, взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями пространства и квадратными матрицами порядка . Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе от одного базиса к другому. Инварианты линейного преобразования.

2.13.2. Сложение и умножение линейных преобразований, соответствующие операции над матрицами. Кольцо эндоморфизмов. Линейное пространство линейных преобразований, его размерность.

2.13.3. Обратное преобразование. Ядро и образ линейного преобразования. Теорема о сумме размерностей ядра и образа линейного преобразования.

2.13.4. Инвариантные подпространства линейного оператора. Сумма и пересечение инвариантных подпространств. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора, их нахождение, характеристический многочлен.

Свойства собственных значений и собственных. Диагонализация матрицы линейного оператора в базисе собственных векторов.

2.13.5. Присоединенные векторы линейного преобразования, корневое подпространство. Теорема Жордана.