П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1

71

Вопрос об измерении размерности аттрактора становится особенно сложным при попытках обработки экспериментальных данных, когда даже вопрос о размерности фазового пространства, то есть вопрос о необходимом числе независимых переменных, остается открытым. П одход к реш е- нию этой задачи дает так называемая теорема Таккенса, суть которой состоит в следующ ем.

X (t), X (t + τ), X (t + 2τ), X (t + 3τ), è ò.ä., ãäå τ - постоянная. Теорема Таккенса утверждает, что каждая переменная системы X (t) отражаетосновныесвойства этой системы, а аттрактор, построенный в фазовом пространстве переменных X (t), X (t + τ), X (t + 2τ), X (t + 3τ),...... , сохраняет основныетопологические свойства аттрактора исходной системы.

П рактически, алгоритм вычисления размерности аттрактора строитсяследую щ им образом. Для измеряемой величины X (t) выбирается харак-

состоит из последовательности точек, каждая из которых определяется в фазовом пространстве вектором X i . В каждую из этих точек помещ ается

73

2.6.3Обобщ енная размерность

Ïусть система эволю ционирует в некотором фазовом пространстве. Разобьем это пространство на ячейки (n-мерные кубики) с ребром l (всего M ячеек) и вычислим вероятность попадания системы в каждую i -òóþ

ячейку

pi = lim ni .

N → ∞ N

Ãäå ni - число точек, попавш их в данную ячейку, а N - общ еечисло рассмот-

ренных точек.

Обобщ енная размерность (размерность Рени) определяется как

M

Таким образом вводитсяпоследовательность величин Dq , связанныхссо-

ответствую щ ими моментами распределения вероятности. П осмотрим, какой смысл имеет эта величина при конкретныхзначениях q .

1) q = 0 . Тогда

M

ln å pi 0

сумма в числителе равна числу ячеек, в которых оказалась хотя бы одна точка. Следовательно,

ãäå N (l) есть число ячеек, содержащ их точки, и (2.38) совпадает, таким образом, с определением размерности Хаусдорфа (2.34).

2) q = 1 . В этом случае возникаетпроблема деления на ноль. Рассматриваетсяпредел q → 1 и с помощ ью правила Лопиталя

74

i=1

Числитель под знаком предела есть энтропия Ш енона, а размерность D1 называю т информационной размерностью .

3) q = 2 . Теперь в числителе под знаком суммы стоит квадрат вероятности попадания точки в ячейку, то есть совместная вероятность одновременного попадания пары точек. Таким образом,

ãäå Ñ(l) есть функция (2.36), а размерность (2.40) называетсякорреляционной размерностью .

Справедливо общ ее правило: Di ³ D j , åñëè i < j . Это означает, что наибольш еезначение всегда имеет Хаусдорфова размерность D0 .

2.7Субгармонический каскад

Âэтом параграфе речь пойдет о переходе к хаотическому движению по сценарию , называемому субгармониче- ским каскадом и представляю щ ему собой последовательность бифуркаций удвоения периода. М ы уже упоминали бифуркацию этого типа, разбирая возможныетипы потери устойчивости траектории при анализе матрицы Ф локе. Качественно перестройку фазовой траектории, соответствую щ ую бифуркации удвоения периода, иллю стрирует рису-

нок 2.24. П редельный цикл после би- Ðèñ. 2.24. фуркации замыкается только на втором витке, удваивая тем самым период движения системы в фазовом пространстве.

77

g(x) = 16μ 2 (x − x 2 − 4μx 2 + 8μx3 − 4μx 4 ) .

График этой функции показан на рисунке2.28, а два выделенных квадрата поясняю т тот факт, что в них воспроизводится картинка, представленная на рис.2.26. В дальнейш ем все повторяется. Ф ункция g(x) теряет устойчи-

востьпри μ = μ2 = (1 + 6) / 4 = 0,86237... Далеерассматриваетсяфункция

h(x) = g 2 (x) = f 4 (x) ,

представленная на рис.2.29. Квадрат на рисунке снова показывает, что вблизи каждой устойчивой точки воспроизводится ситуация рисунка 2.26. Ф ункция h(x) становится неустойчивой при μ = μ3 = 0,875 , è ò.ä. Êà-

ждый разимеет месть бифуркация удвоения периода (период цикла удваивается). Ф ейгенбаум обнаружил два

μ∞ = 0,892486418... ,

èсущ ествует предел

Важно, что величина δ не зависит от конкретного вида функции f (x) (лю - бая выпуклая, непрерывная, дифференцируемая функция с одним максимумом) и равна

δ = 4,6692016091....

Это первый закон подобия. Второй закон подобия касается положения устойчивых точек. Н а рисунке 2.30 схематически показана структура реш е- ний уравнения (2.41). Рассматриваю тся точки пересечения с прямой x = 0,5

до ближайш ей к ней точки на устойчивом 2n -цикле. Для соответствую щ их расстояний dn справедливо соотнош ение

78

lim dn = − α

n→ ∞ d n+ 1

èвторая константа Ф ейгенбаума

α= 2,5029078750....

Отметим, что в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения при μ = μ∞ возникает бесконечное множество (аттрактор Ф ейгенбаума), который имеет размерность Хаусдорфа D = 0,548... . Важно, что при всех μ < μ∞ показатель Ляпунова отрицателен, стремясь при μ → μ∞ к нулю . Следовательно, аттрактор Ф ейгенбаума неявляетсястранным.

Хаос возникает при μ > μ∞ , где показатель Ляпунова в основном положителен. П оведениевэтой области достаточно сложное. Хаотические области чередую тсяс«окнами периодичности» (светлыезоны на рис.2.31).

Ðèñ. 2.31.