П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1

11

Тогда уравнение для изменения импульсазапиш ется в виде

Н ами не использован закон сохранения энергии. Н апомним, что рассматриваетсяидеальная жидкость, а это означает, что в жидкости отсутствую т теплообмен и трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице. Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что энтропия каждого жидкого элемента остается постоянной

dS = 0 . dt

П ереходя от переменных Лагранжа к переменным Эйлера, получаем

1.1.3 Реальная жидкость

Реальная жидкостьэто жидкость с вязкостью (внутренним трением) и теплопроводностью . Н ачнем с рассмотрения уравнений движения для изотермической жидкости и для начала ещ е раз напомним, что уравнение непрерывности (1.1) справедливо и для реальной жидкости, так как его вывод основывался только на законе сохранения вещ ества.Далее воспользуемся уравнением Эйлера, записанным в формезакона для переноса импульса (1.7)-(1.8), и попытаемся дописать в него слагаемые, отвечаю щ ие за перенос импульса в результате действия вязких сил

12

тензором вязких напряжений.

Тензор вязких напряжений σik должен характеризовать неоднород-

ности поля скорости, которыеможно описать производными поля скорости

Требуется угадать форму зависимости тензора вязких напряжений от этих производных. Н а этом этапе делается самое важное ограничение на пути получения уравнения движения. Оно состоит в том, что учитываю тся только линейные комбинации первых производных поля скорости. Кажется естественным, что однородное поле скорости не приводит к появлению вязких напряжений. Н ужно, однако, учесть, что есть специальный случай, когда поле скорости неоднородно, а вязкие напряжения возникать не должны. Это случай твердотельного вращ ения жидкости.

Сущ ествуют только две линейные комбинации первых производных, удовлетворяющ ие этому требованию . Это

(здесьи далееподразумеваетсясуммирование по повторяю щ имсяиндексам).1

Общ ий вид тензора второго ранга, удовлетворяю щ его поставленным условиям, есть

Ïринята несколько иная форма записи

1 Убедимся, что эти две комбинации равны нулю при твердотельном вращ ении жидкости.

v= W ´ r

vx = W y z - W z y vy = Ω z y − Ω x z vz = W x y - W y x

16

v = P1 - P2 (R 2 - r 2 ).

4ηL

Важной характеристикой является расход жидкости, протекаю щ ей через трубу. Для него имеем

1.1.4Число Рейнольдса

Ïолученные уравнения движения несжимаемой жидкости приведем к безразмерному виду. И меем (1.13),

В уравнения входят следую щ ие физические величины: время t , расстояние l , скорость v , плотность ρ , давление P и вязкость ν . Åñëè ìû

принимаем системуединиц СИ, то каждая изэтих величин будетиметьследую щ ую размерность:

[t ] = c ; [l ] = ì; [v ] = ì/ñ; [ρ] = êã/ì3 ; [P ] = êã/ì ×ñ2 ; [ν ] = ì2 /ñ.

Èдея обезразмеривания состоит в том, чтобы измерять все величины

âединицах, являю щ ихся характерными параметрами конкретной задачи. Так, например, в качествеединицы измерения длины можно выбрать некий характерный размер L (это может быть толщ ина слоя жидкости, диаметр трубы, размер обтекаемого тела и т.д.), за единицу измерения скорости - характерную скорость V (скорость верхней пластины в течении Куэтта, скоростьна оси трубы в течениеП уазейля, скоростьнабегаю щ его потока в задачах об обтекании тела и т.д.). Единица измерения времени выражается через две введенныевеличины и есть L /V , а единицей давления можетслужить величина ρV 2 .

Безразмерные величины (обозначим их буквами с тильдами) будут связаны со старыми, размерными величинами как

17

П одставляя эти соотнош ения в уравнения движения, получим

Это число характеризует отнош ение инерционных сил к вязким (нелинейного члена к вязкому) и именно оно является критерием, определяю щ им этапы перехода от ламинарных течений к турбулентным.

Важно подчеркнуть, что приведенный способ обезразмеривания уравнений не является единственно возможным. Н апример, в качествеединицы времени можно взятьвеличину L2 /ν , характеризую щ ую время вязкой диссипации, а в качестве единицы скорости - величину ν / L . П ереходя к безразмерным переменным, в этом случае получим уравнение

не содержащ еекаких-либо параметров. Н еследует думать, что таким образом мы получили уравнение, лиш енное параметра. В действительности, роль числа Рейнольдса выполняеттеперь безразмерная скорость. Если при первом способе обезразмеривания безразмерная скорость по определению лежала в интервале [0,1] (или вблизи него), то при втором способе единичной является скорость вязкого переноса, а безразмерная скорость можетдостигать величин порядка

то есть является аналогом числа Рейнольдса.

С числом Рейнольдса тесно связан вопрос о подобии различных те- чений, то есть вопрос о том, каким критериям должна удовлетворять модель исследуемого течения. П усть рассматриваетсяопределенный тип тече-

18

ний жидкости (например, течение по трубам или обтеканиетел определенной формы). Очевидно, что для моделирования движения нужно в первую очередь обеспечить геометрическое подобие. Тогда геометрическиесвойства задачи определяютсяодним линейным размером L .

И з параметров, характеризую щ их жидкость, в уравнения входит только кинематическая вязкость ν (поля скорости v и давления, отнесенного к плотности, P / ρ являются неизвестными функциями, которые необходимо найти). Если рассматриваетсяобтеканиетела потоком, то характеристикой течения в целом являетсяскоростьпотока (на бесконечности) V . М ы видим, что в рамках заданного типа движений реш ение определяется тремя параметрами: ν,V , L . И з этих трех размерных величин можно составить только одну безразмерную комбинацию , а именно, введенное выше число Рейнольдса. И скомые поля (опять же, для заданного типа течений) должны будут выражаться зависимостями вида

Суть закона подобия, сформулированного Рейнольдсом в 1883 году, состоит в том, что течения одного типа с равным числом Рейнольдса подобны. П одобие двух течений состоит в том, что все поля могут быть получены друг из друга простым масш табным преобразованием координат и скорости.

Если в задаче появляется дополнительный параметр, то из имею щ ихсячетырех величин можно составить два независимых безразмерных комплекса и для обеспечения подобия задач потребуется обеспечить равенство обоих безразмерных параметров. Так, если в рассматриваемом течении сущ ественно влияниесил тяжести, то в качестве дополнительного размерного параметра в задачу входит ускорение силы тяжести g . Тогда новым безразмерным параметром можетслужить число Ф руда

F = V 2 ,

Lg

являю щ ееся мерой отнош ения кинетической энергии движущ ейся жидкости к потенциальной.

1.1.5 Течение в диффузоре

М ы рассмотрели выше два простейш их примера точных реш е- ний уравнений Н авье-Стокса. И звестно ещ е несколько задач, для которых