П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1
.pdf
61
8. Теорема о комплексном сопряжении:
~ |
(f |
)= f (− |
k ). |
(2.27) |
||
F |
||||||
Åñëè f - вещ ественное число, то |
~ |
|
~ |
( f ) = f (− k ) ò.å. f (k ) = f (− k ) |
|
|
F |
(f )= F |
|
||||
2.4.3Спектры
Ïусть имеется временной сигнал f (t) , для которого сущ ествуют пре-
образования (2.17)-(2.18). Для этого сигнала можно ввести корреляциионную функцию (автокорреляцию )
C(τ) = lim |
1 |
T |
f (t) f (t + τ)dt . |
(2.28) |
|
|
|||
T → ∞ T |
ò |
|
||
|
|
0 |
|
|
Корреляционная функция (2.28) есть среднее произведение двух значений сигнала, сдвинутых на величину τ и характеризует степень зависимости текущ его значения сигнала от его предыдущ их значений.
Спектральной плотностью сигнала f (t) называется функция F(ν ) =| f (ν )|2 . Связь спектральной плотности с автокорреляционной функцией устанавливает теорема Хин- чина-Винера:
+ ∞ |
|
F (ν) = òÑ(τ)e− 2πiν τ dτ . |
(2.29) |
− ∞
Следует отметить, что обрабатываемые сигналы представля- ю тсобой, как правило, последовательность дискретных точек (по крайней мере, сигнал становится таковым на этапе ввода в цифровую вычислительную маш ину). В этом случае приходится иметь дело с конечной выборкой и важной становится теорема Котельникова,
Ðèñ. 2.14.
утверждаю щ ая, что функция f (t) ,
спектр которой ограничен конечным интервалом частот − νmax < ν < νmax , однозначно определяется выборкой на дискретном множестветочек с ш агом
62
t = 1/ 2νmax . Точнее говоря, функция |
f (t) восстанавливается по конечной |
||||||||
выборке fn = f (nDt) с помощ ью соотнош ения |
|||||||||
|
|
æ t |
|
ö |
|
||||
∞ |
sin π ç |
|
|
|
- n÷ |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
èDt |
ø |
|
|
|||||
f (t) = å fn |
|
. |
(2.30) |
||||||
æ t |
- |
ö |
|||||||
n=− ∞ |
|
|
|||||||
|
πç |
|
|
n ÷ |
|
||||
|
|
|
|||||||
|
èDt |
|
ø |
|
|
||||
Ðèñ. 2.15.
Другими словами, теорема Котельникова устанавливает предельную частоту, которая может быть определена по сигналу, регистрируемому с ш агом Dt .
П ри дискретной выборке, состоящ ей из N равноотстоящ их то- чек, исходному ряду соответствует ряд фурье-коэффициентов (2.16), которые для действительного сигнала равны
) |
N |
− 2πimn |
|
|
fn = å fm e |
|
(2.31) |
||
N |
||||
|
|
|
||
m=1
Спектральной плотности F (ν) при дискретном представлении соответствует ряд величин Fn =| fn |2 , называемый спектром мощ ности (а также
энергетическим спектром, или просто спектром Ф урье).
Остановимся на том, как выглядят спектры различных типов сигналов. Н ач- нем со случая, когда функция f (t) есть периодический сигнал с периодом T . Â ïðî-
Ðèñ. 2.16.
63
стейш ем случае это гармонический сигнал (синус или косинус) и его спектр состоит из одной ненулевой компоненты с частотой 1/ T . Для периодиче- ского сигнала другой формы в спектре появляю тся кратные гармоники (с частотами 2 / T , 3 / T , 4 / T ,.....) (ðèñ.2.14).
Более сложно выглядит спектр квазипериодического сигнала. Как уже указывалось выше, аттрактор квазипериодического движения представляет собой тор размерности d. Это означает, что у функции сущ ествует d аргументов, по которым функция периодична с соответствую щ ими периодами Òi . В общ ем случае спектр квазипериодического движения может
иметь довольно сложный вид. П росто он выглядит только тогда, когда сигнал есть суперпозиция периодических функций и спектр в силу линейности преобразования представляет собой сумму спектров отдельных периодических функций. Если квазипериодическая функция есть нелинейная комбинация периодических функций, то ееспектр содержит комбинационные частоты типа n1ν1 + n2ν2 + ... + ndνd . Н а рисунке2.15 показаны два спектра
квазипериодических сигналов с двумя частотами ν1 è ν2 . П ри этом, на рис.2.15а показан случай, когда отнош ение частот есть величина иррациональная, а на рис.2.15б это отнош ение рационально и равно 2/3. Во втором случае все пики в спектре соответствуют гармоникам с частотами, кратными разности частот (ν2 − ν1 ) . В обоих случаях спектр сигналов остается дискретным.
Íа рисунке2.16 показан типичный спектр апериодического сигнала.
Âотличие от предыдущ их спектров он непрерывен (сплош ной, или заполненный спектр). Н а практикевопрос о принадлежности спектра апериоди- ческому или квазипериодическому сигналу невсегда прост, так как квазипериодический сигнал с больш им числом частот приближается по своему виду к спектру стохастического сигнала. П редельный вид стохастического сигнала называю т белым ш умом. Это сигнал с плоским спектром, корреляционная функция которого есть дельта-функция.
2.5 Странный аттрактор
Теперь вернемсяк вопросу о том, каким должен быть аттрактор хаотического движения. М ы уже упоминали выше, что первый сценарий перехода к Хаосу был предложен Ландау и представлял собой бесконечную цепочку бифуркаций Хопфа. Такому движению соответствует аттрактор в виде тора T ∞ . Н о уже система с тремя степенями свободы дает сплош ной спектр Ф урье, что являетсяпризнаком хаотического движения.
64
Н еобходим аттрактор, который объясняет хаотическое поведение системы в фазовом пространстве низкой размерности (для определенности будем иметь в виду трехмерное фазовое пространство, так как известно, что в трехмерных нелинейных системах возможно сущ ествование хаотиче- ских режимов). Соответствую щ ий аттрактор был предложен Рю элем и Таккенсом в 1971г. и назван странным аттрактором. Эти же авторы предложили и сценарий перехода к турбулентности, состоящ ий в том, что в системе после двух бифуркаций Хопфа (приводящ их к появлению в спектре двух независимых частот) происходит третья бифуркация, приводящ ая к возникновению странного аттрактора (и появлению заполненного спектра).
Важнейш им свойством, которым должен обладать аттрактор хаоти- ческого движения является чувствительность к заданию начальных условий (ЧЗНУ). Это означает, что близкие траектории должны расходиться (должны быть положительные показатели Ляпунова) или, иными словами, система должна забывать о начальных условиях благодаря наличию малых возмущ ений.
В то же время нужно помнить, что речь идето диссипативных системах, в которых объем в фазовом пространстве сокращ ается и объем аттрактора должен быть равен нулю . П отеря памяти о начальных условиях обеспечиваетсяи сокращ ением объемов, так как независимо от начальных условий фазовая траектория выходит на аттрактор. Чтобы объем множества точек был равен нулю , его размерность d должна быть меньш е размерности пространства. Следовательно,
d < 3 .
И зтребования ЧЗНУ следует, что траектории в фазовом пространстве должны расходиться, однако, система является детерминированной, а это означает, что в каждой точке должно сущ ествовать единственное реш е- ние и траектории не должны пересекаться (развечто в конечном числе особых точек). С учетом того, что траектория должна занимать конечную областьфазового пространства, на плоскости эти два требования совместить не возможно и мы приходим ко второму ограничению на размерность аттрактора:
65
d > 2 .
Таким образом, апериодический (странный) аттрактор должен: а) притягивать фазовыетраектории изобласти притяжения; б) удовлетворять требованию ЧЗНУ
Ðèñ. 2.17.
в) иметьдробную размерность (в конкретном случае размерность между двойкой и тройкой).
Отложим вопрос о дробной размерности до следую щ его параграфа и приведем несколько качественных соображений, касаю щ ихся возможной структуры аттрактора стакими свойствами.
М оделью возможного построения странного аттрактора является так называемая подкова Смейла. Эта модель отражает важноесвойство странных аттракторов - они всегда содержат в себе элементы растяжения с последую щ им складыванием.
П остроение подковы Смейла иллю стрирует рисунок 2.17. И меется прямоугольник, который растягивается в 2 раза вдоль оси x и сжимается в 2η раз вдоль оси y . Коэффициент η > 1 и характеризует степень сжатия площ ади.
Н а втором ш аге вытянутый прямоугольник складываетсявподкову и возвращ ается таким образом в исходную область пространства. П ри этом
66
он занимает не всю исходную область, так как появились пробелы, обусловленныесжатием.
Третий ш аг повторяетпервый и так далее. Отметим, что деформацию можно характеризовать числами (показателями) Ляпунова. Растяжение по
îñè |
x |
характеризуется положительным показателем λ1 = ln 2 , а сжатие по |
îñè |
y |
- отрицательным показателем λ2 = − ln 2η . |
Ðèñ. 2.18.
Вертикальное сечение полученного объекта в точности воспроизводит так называемое канторово множество, размерность которого будетопределена в следую щ ем параграфе. Здесь же отметим только, что в пределе слабой диссипации (η → 1 ) размерность подковы стремится к двум (она занимает почти всю плоскость). В пределе сильной диссипации (η → ∞ ) на плоскости остаю тся редкие линии и размерность множества стремится к единице.
Другую попытку представить возможность сущ ествования аттрактора с требуемыми свойствами представляет рисунок 2.18. Н а первом ш аге происходит разбегание траекторий (обеспечиваю щ ее ЧЗНУ). Н а втором происходит складывание и на третьем - сворачивание полученной пространственной структуры в «кольцо» таким образом, что сложенная вдвое растянутая сторона смыкается с начальной недеформированной. Вспоминая, что траектории не должны при этом пересекаться, мы приходим к выводу, что должна образоватьсямноголистная структура.
67
2.6 Ф ракталы
2.6.1П онятие фрактала
Ïусть имеется множество точек, расположенных в некотором про-
странстве размерностью D . Введем сферу радиуса r (гиперсферу, если D > 3 ) и будем подсчитывать среднее число точек N , попадаю щ их в сферу при различных ее положениях в пространстве. Естественно рассчитывать на то, что зависимость числа точек от радиуса сферы будет иметь степенную форму
N (r) ≈ r d |
(2.32) |
||
и размерность множества есть |
|||
d = |
ln N (r) |
. |
(2.33) |
|
|||
|
ln r |
|
|
Если точки множества расположены на линии, то d = 1 , åñëè îíè ëå- |
|||
жат на плоскости, то |
d = 2 , а если точки занимаю т все трехмерное про- |
||
странство, то опять же получаетсяобычная (евклидова) размерность d = 3 . Ф ракталами называю т объекты с нецелой размерностью . П ростей-
ш им примером фрактального множества является канторово множество, строящ ееся по следую щ ему правилу. Единичный отрезок разбивается на
|
три равных части и средняя часть |
|
|
удаляется. Н а втором ш аге каждый |
|
|
изоставш ихся двух отрезков снова |
|
|
делится на три части с последую - |
|
|
щ им удалением центральных час- |
|
|
òåé. |
П роцедура повторяется до |
|
бесконечности (рис.2.19). Таким |
|
|
образом, получается такое множе- |
|
|
ство, что лю бой сколь угодно ма- |
|
|
ëûé |
объем области обязательно |
Ðèñ. 2.19. |
содержит точки, этому множеству |
|
не принадлежащ ие. |
||
Оценим размерность построенного множества по формуле(2.33). И зпроцедуры построения множества следует, что при каждом увеличении радиуса сферы в три раза, число то- чек, в нее попадаю щ их, увеличивается вдвое ( r ≈ 3n , N ≈ 2n ). Следовательно,
68
d= ln 2 = 0,63 . ln 3
Это неединственный способ определения фрактальной размерности. Н аиболее известна так называемая размерность Хаусдорфа-Безиковича. Она определяется следую щ им образом. П усть N (l) - наименьш ее число кубов (сфер) с ребром (диаметром) l , которым можно покрыть âñå точки множества. Тогда размерность Хаусдорфа - Безиковича есть
D = lim |
ln N (l) |
. |
(2.34) |
|
|||
l→ 0 ln(1/ l) |
|
||
Оценивая размерность введенного выше канторова множества по (2.34), мы придем к тому жесамому результату, что и при вычислениях по формуле(2.33). Одинаковый результат получаетсяпри оценке размерности однородных фракталов. Н есколько примеров однородных фракталов и по-
Ðèñ. 2.20.
лучаемые для них размерности приведены на рис.2.20. В общ ем случае неоднородных фракталов размерности d è D могут не совпадать, но всегда d ≤ D (ñì. ï.1.6.3).
Объекты сфрактальными свойствами возникаю т в самых различных приложениях. Одной изпервых практических задач, приведш их к развитию
69
теории фракталов, была задача об определении длины береговой линии. П роблема состоит в том, что по мере использования карт с более мелким разреш ением получаемая длина береговой линии все увеличивается и процесс не сходится. Береговая линия является, таким образом, типичным фрактальным объектом (сравните со структурой снежинки Коха, рис.2.20). Ф рактальными свойствами обладают облака, кораллы, растущ ие кристаллы, семейства трещ ин при процессах разруш ения и поле диссипации энергии в развитом турбулентном течении.
К фракталам приводят многие математические задачи. П ростейш ий пример дает задача о границах областей притяжения рациональных отображений комплексной плоскости в себя. Н апример, рассматривается уравнение
z 3 = 1 ,
Ðèñ. 2.21.
70
имею щ ее три корня (1, − 1/ 2 + i
3 / 2, − 1/ 2 − i
3 / 2) , и используется итерационный метод Н ью тона для его реш ения. Это значит, что для уравнения f (z) = 0 строитсяпоследовательностьзначений zn , таких, что
f (zn ) + (zn+ 1 − zn ) f (zn ) = 0 .
В наш ем случае это приводит к выражению
zn+ 1 |
= zn |
− |
zn |
3 |
− |
1 |
. |
(2.35) |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
3zn |
|
|
|
||
И терационный процесс(2.35) стартуетсразличных начальныхзначений z0
на комплексной плоскости и приводит, в конце концов, к одному изтрех корней уравнения. Задача состоит в том, чтобы построить границу раздела трехобластей притяжения. Такие границы называю тсямножествами Ж ю - лиа (задача Ж ю лиа датируется1918 годом !) и обладаю тзамечательным свойством: каждая точка границы разделяет все три области притяжения.
М ножества Ж юлиа строятсяи для логистического уравнения
zn+ 1 = zn2 + C ,
для которого показано (М андельброт, 1980г.), что уравнение сущ ествует только для определенныхзначений C на комплексной плоскости. П риняв за линию уровня число итераций, необходимых для попадание в ε - окрестность реш ения и рисуя разные уровни разными цветами, получаю т живописные картинки, украш аю щ ие многие книги и журнальные статьи. М ы не приводим их из-забедности черно-белого представления и отсылаем к соответствую щ им изданиям (см. список рекомендуемой литературы).
Эстетическое наслаждение можно получить и от рассматривания изображений аттракторов динамических систем, примеры которых можно видеть на рисунке2.21. (Н а рисунке, взятом из книги Г.Ш устера «Детерменированный хаос», показаны примеры странного аттрактора и сечения П уанкаре, полученные при реш ении уравнения для нелинейных осциляторов.) Вспоминая, что именно размерность аттракторов динамических систем с хаотическим поведением заставили нас обратиться к фракталам, вернемсяк вопросуо том, как именно можно измерить размерность аттрактора.
2.6.2 Алгоритм вычисления размерности аттрактора