П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1
.pdf
41
раметр b = 8 / 3 , что соответствует результату Релея для критического значе- ния a = 1/ 
2 .
Рекомендуемая литература к первой главе:
1.Ландау Л.Д., Лифш иц Е.М . Гидродинамика. М .: Н аука, 1988. 736с.
2.Лойцянский Л.Г. М еханика жидкости и газа. М .: Н аука, 1978.736с.
3.Герш уни Г.З., Ж уховицкий Е.М . Конвективная устойчивостьнесжимаемой жидкости. М .: Н аука, 1972. 392с.
4.Валандер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: И зд-во Ленингр. ун-та, 1978. 296с.
42
2 ХАОС В ДИ Н АМ И Ч ЕСКИ Х СИСТЕМ АХ
Турбулентные течения представляю т собой системы, характеризую - щ иеся наличием хаотически распределенных и хаотически осцилирую щ их структур самого различного масш таба. Турбулентность - это воплощ ение хаоса, а хаос долгое время ассоциировалсяссистемами, имею щ ими огромное число степеней свободы, и развитая турбулентность считалась лиш енной какого-либо порядка. Однако, начиная с конца 60-х годов наш его века наметился значительный прогресс в понимании природы турбулентности, связанный с осознанием природы и структуры хаоса.
Во-первых, была установлена возможность хаотического поведения в нелинейных системах с совсем небольш им числом степеней свободы. И н- тересно, что впервые хаотическое поведение в простых гамильтоновых системах обнаружил А.П уанкареоколо ста летназад, но только после работы Э.Лоренца (1963г.), в которой исследовалось хаотическое поведение диссипативной системы из трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1.35), было оценено значение этого факта и началось активное исследования хаотического поведения динамических систем. П равда, произош ло это тоже не сразу, а только после клю чевой работы Д.Рю эля
èФ .Таккенса 1971г., в которой было сформулировано понятиестранного аттрактора и указана его роль в формировании нерегулярного поведения системы.
Во-вторых, было понято, что даже в самом развитом турбулентном потокесущ ествуют элементы порядка, а число реально возбужденных степеней свободы значительно меньш е ожидаемого. В 70-80-х годах появляю т- ся многочисленные работы о когерентных структурах в турбулентных потоках и делаются первые попытки описания турбулентности на языке фракталов.
Èменно в это времясформировались такие науки, как теория катастроф и синергетика, появилисьпервые книги о «детерминированном хаосе»
è«порядке в хаосе». Важно подчеркнуть, что обычно рассматриваемые в этих книгах проблемы динамических систем невысокого порядка не имеют прямого отнош ения к развитой турбулентности. В них речь идето хаотиче- ском во времени поведении небольш ого числа заданных в пространстве мод (такие течения реально сущ ествуют при небольш их надкритичностях, то есть вблизи порога неустойчивости), в то время, как «истинная» турбулентность хаотична и в пространстве и во времени. Тем неменее, рассматриваемые в качественной теории динамических систем вопросы чрезвы- чайно полезны как для понимания путей развития турбулентных течений
43
(сценариев перехода к хаосу), так и для отработки методов описания хаотических (в том числеи турбулентных) систем.
Н еобходимо остановитьсяна самом понятии детерминированный хаос. П од ним понимают нерегулярное поведение нелинейных систем, эволю - ция которых однозначно описываетсядинамическими уравнениями при заданных начальных условиях. П ри этом нелинейность является необходимым, но не достаточным условием возникновения хаотического поведения, а его возникновение связано не с наличием источников ш ума или бесконечного числа степеней свободы, а со свойством нелинейных систем экспоненциально быстро разводить реш ения в ограниченной области фазового пространства.
В данной главе мы остановимсяна базовых понятиях теории динами- ческих систем, рассмотрим основные виды бифуркаций и основные сценарии перехода от упорядоченного движения к хаосу. М ы подробно разберем свойства системы Лоренца, не только сыгравш ей важнейш ую роль в становлении науки о хаосе, но и имею щ ей самое прямое отнош ение к теме на- ш его курса. Далеемы приведем пример ещ е одной динамической системы, имею щ ей отнош ение к гидродинамическим системам - это простейш ая модель земного динамо Рикитаке. В заверш ение будут приведены некоторые результаты лабораторного исследования стохастизации конвективного движения в замкнутой полости.
2.1 Консервативные и диссипативныесистемы
Любые движения можно разделить на монотонные и колебательные, а колебательные в свою очередь, на регулярные(периодические) и нерегулярные. Среди периодических колебаний наиболееизучены гармонические колебания. Это вполне естественно, так как гармонические колебания чрезвычайно ш ироко распространены в самых различных системах, а также потому, что лю бой колебательный процессспомощ ью преобразования Ф урье может быть представлен как сумма гармониче- ских колебаний. Н е удивительно, что знакомство с динамическими системами традиционно начинаю тсрассмотрения простого осцилятора.
Рассмотрим хорош о известный со ш кольной скамьи математический маятник - точечное тело массой m , подвеш енное на стержне длиной l и находящ ееся в поле силы тяжести, характеризуемой ускорением свободного падения g (Рис.2.1). М аятник имеет одну степень свободы, описываемую углом отклонения от
Ðèñ. 2.1.
44
вертикали θ . Основной закон механики приводит к уравнению, которое в цилиндрических координатах имеет вид
&& |
g |
sinθ = 0 . |
(2.1) |
||
θ + |
|
||||
l |
|||||
|
|
|
|
||
Для малых угловых отклонений, когда sinθ ≈ θ , уравнение (2.1) стано- |
|||||
витсялинейным уравнением |
g |
|
|
|
|
&& |
θ = 0 |
, |
(2.2) |
||
θ + |
|
||||
|
|||||
l
реш ением которого являются гармонические колебания θ = θ0 sin(ω t + ϕ 0 ) с круговой частотой ω = 
g 
l .
2.1.1 Ф азовое пространство
Состояние маятника в любой момент времени полностью задается двумя величинами: положением θ(t) и угловой скоростью θ&(t) . Если мы введем систему координат, осями которой будут служить эти две величи- ны, то точка на плоскости (θ,θ&) будет полностью характеризовать состояниесистемы, а любому реш ению будетсоответствовать та, или иная линия (траектория).
Ф азовое пространствоопределим как пространство, в котором осями координат служат переменные, описываю щ ие состояние системы, в случае осцилятора - положение и скорость. Ф азовой траекторией называетсякривая в фазовом пространстве, описываю щ ая эволю цию системы. Совокуп-
Ðèñ. 2.2.
45
ность фазовых траекторий, описываю щ их эволю цию системы при различ- ных начальных условиях, образуетфазовый портретсистемы.
Н а рисунке2.2 приведен фазовый портрет маятника. Картина периодична по оси θ с периодом 2π . В области применимости уравнения (2.2) фазовыетраектории представляютсобой окружности с центрами в точках θ&= 0, θ = ±2πn, n -целое число. Эти кривые соответствуют гармоническим колебаниям, частота которых не зависит от амплитуды. С ростом амплитуды колебаний траектории принимают эллиптическую форму и период колебаний растет. Если энергия колебаний превышает величину 2g / l , то колебания переходят во вращ ения вокруг оси. Траектории, точно соответствую щ ие этому значению энергии, проходят через верхнее, неустойчивое положение равновесия и период колебаний стремитсяк бесконечности. Эта траектория разделяет области фазового пространства с различным характером поведения (колебания и вращ ение) и являетсясепаратрисой. Стрелки на рисунке указываю т направление движения.
2.1.2Консервативныесистемы
Ìаятник, описываемый уравнением (2.1) сохраняет энергию . Действительно,
E = |
mv 2 |
+ |
mgl( 1 - cosθ ) = ml 2 |
éθ&2 |
+ |
g |
( 1 - |
cosθ )ù |
|
|
|
|
|
||||||
|
ê |
|
|
||||||
2 |
|
|
2 |
|
l |
ú |
|||
|
|
ë |
|
û |
|||||
è
dE |
|
2 é&& |
g |
|
ù |
& |
|
|
|
= ml |
êθ + |
|
sinθ |
úθ º 0 . |
(2.3) |
||
dt |
l |
|||||||
|
ë |
|
û |
|
|
|||
Это означает, что линии на рисунке2.2 можно интерпретировать как линии равной энергии. Энергия с точностью до множителя совпадает с функцией Гамильтона, а уравнение (2.1) приводится к системе уравнений первого порядка
|
|
& |
∂H |
|
|
∂H |
|
|
|
θ = |
|
, |
p& = |
|
. |
|
|
¶p |
¶θ |
||||
|
|
|
|
|
|
||
Здесь H ( p,θ) = |
p 2 |
+ g(1 - cosθ) , è |
p = lθ&. |
|
|||
2l |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, рассмотренный маятник относится к гамильтоновым системам, которые, как известно, консервативны.
И з консервативности (сохранения энергии) следует одно очень важноесвойство - сохранение площ адей (в общ ем случае - объема) в фазовом
46
пространстве. Элемент объема в фазовом пространстве можно рассматривать как множество начальных условий. В процессе эволюции это множество преобразуется в другой элемент фазового пространства (каждая точка следует своей фазовой траектории), объем которого должен оставаться постоянным.
Следует подчеркнуть, что сохранение объема не подразумевает при этом сохранения формы, так как сохранение объема может достигаться двумя различными способами. В первом случае элемент фазового объема переносится вдоль траектории практически без деформации. Во втором случае происходит экспоненциальное удлинение объема в некотором направлении с одновременным сжатием в перпендикулярном направлении (такжеэкспоненциальным). Хотя фазовый объем сохраняется в обоих слу- чаях, поведениесистемы отличаетсяпринципиально. В первом случае траектории, близкие в начальный момент времени, остаю тся близкими - траектории (а следовательно, и реш ение) устойчивы. Во втором случае малое начальное возмущ ение приводит к быстрому расхождению траекторий со временем - они неустойчивы.
Отметим ещ е одно свойство консервативных систем, состоящ еев том, что они инвариантны к обращ ению времени (замене t íà − t ). В случае маятника это означает, что если его движения заснять на видеофильм, то фильм можно прокручивать в обоих направлениях и отличить правильное направление от обратного по воспроизводимым движениям маятника будет невозможно.
2.1.3Диссипативныесистемы
Ïримером простейш ей диссипативной системы можетслужить тот же простой маятник, но подверженный действию сил трения. Реально силы трения присутствуют всегда (трение на оси, сопротивление воздуха и т.д.) и ни один свободный осцилятор несоверш ает колебания неограниченно долго. Для учета действия сил сопротивления нужно добавить в уравнение
(2.1.) слагаемое, например, пропорциональное скорости движения маятника
|
&& & |
g |
sinθ = 0 , |
(2.4) |
|
θ + μθ + |
|
||
|
l |
|||
|
|
|
|
|
|
ãäå μ есть коэффициент трения. |
|||
|
П овторяя |
|
вычисления |
äëÿ |
Ðèñ. 2.3. |
скорости изменения энергии, вме- |
|||
сто (2.3) получим теперь |
|
|||
|
|
47 |
dE |
= − μml 2θ&2 . |
(2.5) |
|
||
dt |
|
|
Таким образом, при лю бом положительном значении коэффициента тренияэнергия убываетсо временем, стремясь в конечном итоге к нулю (отрицательной энергия стать не может). Это означает, что семейство траекторий, представлявш ее собой в отсутствие трения множество концентриче- ских окружностей, превращ ается теперь во множество траекторий, сходящ ихся к началу координат. Н а рисунке2.3 показаны фазовые портреты маятника стрением для малого (а) и больш о- го (б) трения. В первом случае характерное время затухания значительно превышает период колебаний и траектории представляютсобой спирали с малым ш агом. Соответствую щ ий фазовый портрет называется фокусом. Во втором случае затухание происходит за время, меньш ее периода. Колебания становятся апериодическими, а портрет называется узлом. В обоих случаях все фазовыетраектории заканчиваю тся в одной точ-
ке, которая называетсяпритягиваю щ ей точкой или аттрактором.
Н аличие аттрактора является важнейш им свойством диссипативных систем. Аттрактор являетсяточкой только в простейш их случаях. В общ ем случае аттрактор - это притягиваю щ ее множество (линия, поверхность и т.д.). П редставим, что в рассматриваемом нами осциляторе добавлена вынуждаю щ ая сила (для конкретности представим себе гирю в часахходиках). Теперь, независимо от начальных условий фазовые траектории сходятся к окружности, радиус которой определяется действую щ ей силой
Ðèñ. 2.5.
(рис.2.4). Эта круговая траектория и является аттрактором (предельным циклом). Важным являетсятот факт, что в диссипативной системе пропала зависимость реш ения от начальных условий (на достаточно больш их временах, когда система выходит на аттрактор).
48
Рассмотренный пример иллю стрирует ещ е одно важнейш ее свойство диссипативных систем - сжатие площ адей (объема) в фазовом пространстве. Объем любого множества начальных условий уменьш аетсявсреднем во времени. Однако, как и в консервативных системах, эволюция множества можетпроисходить различным образом. И ногда (как в простом маятникес трением) это множество равномерно стягивается в точку (или стремится к предельному циклу) и все траектории сближаю тся со временем. Н о не всегда уменьш ение объема подразумевает неизбежное сокращ ение длин. Растяжение объема в одном направлении может компенсироваться более эффективным сжатием в другом направлении. Эти два сценария сжатия фазового объема показаны на рисунке2.5.
Ïоследнее принципиальное отличие диссипативных систем от консервативных связано стем, что они не инвариантны к обращ ению времени. Если фильм о затухаю щ ем маятнике просматривать в обратном направлении, то маятник станет раскачиваю щ имся.
2.1.4П ример немеханической системы
Ïриведем простой пример диссипативной системы из живого мира. Это модель системы жертва - хищ ник. Система бесспорно диссипативна, так как в отсутствие пищ и любая биологическая популяция вымирает.
Ïусть в изолированном лесу обитаю т только зайцы и волки, запопуляциями которых мы и собираемся следить ( N - количество волков, n - количество зайцев). Ф азовое пространство есть в этом случае один квадрант на плоскости (n, N ) , так как отрицательные значения для численности жи-
вотных не возможны. П остараемся нарисовать фазовый портрет системы, не выписывая уравнений.
Какие параметры определяю т возможныесценарии развития жизни в лесу ? Это рождаемость обоих видов, естественная смертность, аппетит волков. Очевидно, что у каждого вида есть наименьш еекритическое число (соответственно, nc è N c ), необходимое для того, чтобы вид мог воспроиз-
водиться. Отложим на осях эти критическиезначения и подумаем, как может развиваться система если начальные условия задаю т старт фазовой траектории вблизи осей координат. Ясно, что реш аю щ им является число зайцев. Если количество зайцев не достаточно для поддержания вида, то вымрут зайцы, а следом с неизбежностью вымрут и волки. Если мало волков (N < Nc ) , а зайцев достаточно, то после вымирания волков численность
популяции зайцев (в упрощ енной модели) будет зависеть только от нали- чия травы в наш ем лесу (обозначим это число как nm ). Таким образом, в
системе выявились две притягиваю щ ие точки, каждая из которых имеет свою область притяжения.
49
Если число зайцев и волков достаточно, то наиболее вероятное развитие событий - это возникновение колебаний: размножились волки - уменьш ается число зайцев, стало мало зайцев - уменьш ается численность волков, стало меньш е волков - снова размножаю тся зайцы и т.д. Такой сценарий немедленно следует и из простейш ей модельной системы
n&= αn − βnN ,
(2.6)
N& = − γN + δnN ,
ãäå α - рождаемостьзайцев, - смертность волков (смертностью зайцев от старости пренебрегаем), β è δ - коэффициенты, описываю щ ие результат встречи зайцевсволками (как часто такиевстречи заканчиваю тсятрагиче- ски и сколько волков могут насытиться в результате одной удачной охоты). Система (2.6) имеет стационарное реш ение: n = α / β, N = γ / δ , а линеаризациясистемы вблизи точки равновесия приводит к уравнению
n&&= αγn ,
имею щ им своим реш ением гармонические колебания. Таким образом, если стационарное реш ение является неустойчивым, то можно ожидать появления в системе предельного цикла. Всесказанноесуммирует рисунок 2.6, где приведен качественный вид фазового портрета системы зайцы - волки. Видно, что аттрактор системы вклю чаетдва узла и предельный цикл, и что каждый изтрех элементов аттрактора имеет свою область притяжения. Области притяжения разделены сепаратрисами, обозначенными пунктиром.
Ðèñ. 2.6.
50
2.2 Бифуркации
2.2.1Что такое бифуркация?
Âрассмотренных нами примерах диссипативных систем с подводом энергии (маятник, энергия которого поддержива-
ется за счет опускаю щ ейся гири, животные в лесу, питаю щ иеся в конечном итоге за счет травы) мы обош ли молчанием важный вопрос о том, как устойчивое ре- ш ение (точка в фазовом пространстве) становится неустойчивым и сменяется предельным циклом. Ясно, что поведение системы зависит от некоторых управляю - щ их параметров (масса гири в часах, при недостатке которой маятник остановится, рождаемость зайцев и т.д.) и при изменение этого параметра возможны не только количественные, но и качественные перестройки характера эволю ции системы.
Точка в пространстве параметров, при которой происходят качественные изменения характера реш ений, называется точкой бифуркации, а соответствую щ ее значение параметра называется критиче- ским. Вспомним результаты анализа конвективной устойчивости нагретой жидкости в горизонтальном слое, описанные в первой главе и представим их на плоскости (R, A) , ãäå R - число Релея, а A - амплитуда (скорость вращ ения) конвективных валов (см. рис.2.7). П ри R < Rc , единствен-
ным реш ением является устойчивая неподвижная точка (конвекция отсутствует). В точке R = Rc рождается дополнительная
пара реш ений (это также устойчивые точ- ки), каждое из которых соответствует вращ ению валов в ту или иную сторону.
Ðèñ. 2.7.
Ðèñ. 2.8.