П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1

31

За единицу скорости можно выбрать и скорость, приобретаемую жидкой частицей, перегретой на величину ϑ относительно окружаю щ ейеежидко-

В уравнениях появилосьчисло Рейнольдса, что обусловлено введением характерной скорости. И спользуя выражение для введенной единицы скорости, просто получить связь появивш егося числа Рейнольдса с числом Грассхофа

1.4 Конвективная устойчивость

Рассмотрим вопрос о том, может ли жидкость оставаться неподвижной при наличии неоднородного распределения температуры. Чтобы убедиться, что равновесие неравномерно нагретой жидкости возможно, достаточно вспомнить ш кольный опыт по кипячению воды в наклоненной пробирке, на дне которой находитсялед, а нагреваетсятолько верхняя часть.

Н айдем необходимое условие механического равновесия жидкости (при наличии неоднородности температуры). М еханическое равновесие подразумевает отсутствие скоростей и стационарность:

¶t

С учетом этих условий от уравнений Буссинеска остается

1r

-Ñ P + gβTe = 0

ρ0

DT = 0.

32

Н а первое уравнение подействуем оператором rot. Òàê êàê

à rot e = 0 , то условие равновесия жидкости сводитсяк требованию

Ñ T ´ e = 0 ,

то есть градиент параллелен вертикальной оси и температура можетменяться только по вертикали: T = T (z). Это означает, что лю бой горизонтальный градиент температуры приводит к возникновению конвективного движения.

И звторого уравнения

DT = ¶2T = 0

¶z 2

следует, что температура может быть только линейной функцией высоты:

T = Az + B .

М ы не получили никакой информации даже относительно знака градиента температуры. Опыт подсказывает, что устой- чивым может быть нагрев сверху. Болееточный ответсостоит в том, что неустойчивость наступает при подогреве снизу после превышения некоторого (совсем небольш ого) критического градиента температуры. Н апример, в горизонтальном слое с твердыми границами критическое

число Релея, при котором возникает конвекция, равно 1708. Оценим соответствую щ ую критическую разностьтемпературы, имея в виду для определенности слой воды толщ иной h :

33

Таким образом, в слое воды глубиной 1 метр при подогревеснизунеустойчивость возникает уже при вертикальной разности температуры величиной всего 10− 7 градуса, в слое толщ иной 1 сантиметр критическая разность температуры равна 0.1 градуса, а слой воды толщ иной один милли-

чивш их название ячеек Бенара (рис.1.10). Ф отография, взятая из работы [Koschmieder E.L. Adv.Chem.Phys., 1974, V.26. P.177-212.], иллю стрирует высокую чувствительность гексагональной структуры к возмущ ениям - слабая деформация поверхности медной пластины, образую щ ей дно сосуда, приводит к локальному наруш ению вида ячеек. Течение в слое силиконового масла визуализируется с помощ ью алюминиевой пудры.

Отметим, что гексагональные структуры возникают в слое только при наличии свободной поверхности и направление циркуляции в жидкостях и газах при этом противоположно. В жидкости горячий поток поднимается в центре ячейки, а в газах наоборот - в центре ячейки холодный поток жидкости направлен вниз. Отметим, что возникновение гексагональных структур связано с действием поверхностного натяжения. П ри твердых горизонтальных границах возникаю т конвективные валы. Этот вид конвективных течений иллю стрирует рис.1.11, где показана валиковая конвекция в слое силиконового масла в круглом сосуде, закрытом сверху стеклом. Ф орма сосуда навязывает валам осевую симметрию .

Задача Релея. Теоретически задачу о конвективной устойчивости жидкости впервые реш ил Релей в 1916 году. Он рассмотрел горизонтальный слой жидкости толщ иной h со свободными, но не деформируемыми границами (такие не совсем реальныеграничные условия даютсамую про-

34

стую постановку), на которых поддерживается температура T1 è T2 , соответственно. Уравнения Буссинеска записываются в безразмерной форме(на

Реш ается двумерная задача в плоскости (x,z) , то есть имеются в виду конвективные валы, направленные вдоль оси y. Граничные условия:

Температура задается в виде T = ϑ - z , так что величина ϑ описываетотклонение температуры от равновесного (линейного) распределения. Для поля скорости вводитсяфункция тока

Рассмотрение ведется в рамках линейной теории устойчивости, то есть из уравнений выбрасываются все члены, квадратичные по скорости и возмущ ениям равновесного профиля температуры. В результате получаю т- сялинейные уравнения

¶ Dψ = DDψ + R ¶ϑ ,

П оследнее слагаемое во втором уравнении - это остаток от нелинейного слагаемого, так как

(vÑ )T = (vÑ )ϑ - vz .

Граничные условия на верхней и нижней границах имею т одинаковый вид:

35

ψ = ψ = ϑ = 0 .

Следую щ ий ш аг состоит в использовании нормальных возмущ ений, которыезадаются в форме периодических возмущ ений с экспоненциальной зависимостью амплитуды от времени:

ψ = ψ 0 e− λt sin(πnz) sin(πax) ϑ = ϑ0 e− λt sin(πnz) cos(πax) .

Учитывая, что

ψ = − π 2 (n2 + a 2 )ψ

ψ = π 4 (n4 + 2a 2 n2 + a 4 )ψ ,

получаем уравнения

λπ 2 (n 2 + a 2 )ψ 0 = π 4 (n 4 + 2a 2 n 2 + a 4 )ψ 0 − Raπθ0 − λσθ0 = − π 2 (n 2 + a 2 )θ0 + πaψ 0

представляю щ ие собой систему линейных, однородных уравнений для амплитуд ψ 0 è ϑ0 :

π 2 (a 2 + n 2 )λ − π 2 (n 2 + a 2 )ψ 0 + Raπθ0 = 0 πaψ 0 + λσ − π 2 (n 2 + a 2 )θ0 = 0 .

Система имеет реш ение, если ееопределитель равен нулю

Раскрывая определитель, получаем уравнение

π (a 2 + n2 )λ2σ − λγ− σλγ+ π 4 (n2 + a 2 )2 − πRa 2 = 0 ,

реш ение которого дает значения для декремента λ :

37

Самыемалые критические значения появляю тсяпри n = 1, что соответствуетодному слою конвективных валов. Следовательно,

Вид нейтральной кривой показан на рис.1.13.

1.5М аломодовая модель конвекции (система Лоренца)

Âзаклю чение вводной части курса остановимся на выводе простой динамической системы, описываю щ ей конвективные течения в той же самой задаче Релея о конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое несжимаемой жидкости. Эта система стала одной из наиболее известных динамических систем, иллю стрирую щ их переход к хаосу и возникновение странных аттракторов (см. следую щ ую главу). Н а данном этапе нас интересует сам процессполучения конечномерных проекций уравнений движения жидкости и переход к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Учитывая общ епринятый вид системы Лоренца, мы сохраним единицы размерности и обозначения его работы (Lorenz E., Deterministic Nonperiodic Flow, Journal of Atmospheric Sciences, 1963, V.20, P.130-141.)

Как и в описанной вышезадаче Релея рассматриваются только плоские движения жидкости (конвективные валы). Вектор скорости имеет две компоненты v = (vx ,0, vz ) и уравнения Буссинеска, записанные покомпо-

нентно, имеют вид

40

ψ= X (t) 2 sin(πax) sin(πz)

π2 a

θ= 1 [Y (t)2 cos(πax) sin(πz) − Z (t) sin(2πz)

πr

Âуравнении (1.33) скобки П уассона равны нулю и простые преобразования приводят к уравнению (производные по времени обозначаем точками)

X2 sin(πax) cos(πz)Y 2 sin(πax) sin(πz) =

πr

Учитывая, что сумма слагаемых, содержащ их произведение XY , äàåò XY (πr)− 1 sin(2πz) можно упростить уравнение

Y&− rX + Y cos(πax) sin(πz) − 2 XZ cos(πax) sin(πz) cos(2πz) =

1 [&− + ] π

Z XY bZ sin(2 z).

2

Это уравнение разделяется на два путем последовательного умножения на sin(πz) è íà sin(2πz) и интегрирования по координате z . Таким образом, система уравнений для амплитуд трех выбранных мод выглядит следую щ им образом

Н апомним, что система (1.35) имеет отнош ение к реальным конвективным движениям только при небольш их надкритичностях (относительное число Релея не намного превосходит единицу). Н есмотря на это, поведение этой системы оказалось интересным само по себе и многочисленные численные исследования ее свойств проводились в очень ш ироком диапазоне параметра r . В вычислениях обычно использую т число П рандтля σ = 10 , à ïà-