П.Г.Фрик - Турбулентность модели и подходы, часть 1

101

П осле осреднения приходим к уравнению:

В уравнении для корреляционного тензора пульсаций скорости второго порядка (3.24) появился корреляционный тензор (момент) третьего порядка ui u j uk и новые моменты второго порядка, описываю щ ие корре-

ляции пульсаций компонент скорости с давлением и скорости со вторыми производными скорости.

Для вновь появивш ихся статистических моментов также можно написать эволю ционные уравнения типа (3.24), но проблемы это не реш ит, так как в уравнение для момента третьего порядка войдут момент четвертого порядка и новые моменты третьего порядка и так далее. Система уравнений для моментов все возрастаю щ их порядков называетсяцепочкой уравнений Ф ридмана-Келлера и является незамкнутой в принципе. П роблема обрыва этой цепочки и получения замкнутой системы называется проблемой замыкания и являетсяцентральной проблемой на пути построения моделей турбулентности, предназначенных для описания осредненных полей скорости (температуры, концентрации примеси и т.д.).

Всеполуэмпирическиемодели основаны на различных искусственных способах обрыва цепочки уравнений Ф ридмана-Келлера. Всякая процедура замыкания тем или иным способом выражает моменты порядка n через моменты низш их порядков с помощ ью неких гипотез. М оделями замыкания первого порядка называю т модели, выражаю щ ие моменты второго порядка черезмоменты первого порядка. М одели замыкания второго порядка оставляют моменты второго порядка, выражая через них моменты третьего порядка и т.д. Н азвание полуэмпирические модели отражает тот факт, что всемодели непременно содержат константы, требую щ ие их определения из опыта.

П роблему замыкания можно проиллю стрировать и на примере уравнения для давления. Как известно, уравнение для определения давления получаетсяиз уравнения Н авье-Стокса (3.12) путем применения к последнему операции Ñ . В результате получается уравнение

102

и после осреднения получаем

Таким образом, в уравнении для средних величин снова появился тензор напряжений Рейнольдса. Для того чтобы выразить статистические моменты, вклю чаю щ ие пульсации давления (см. уравнение (3.24)), потребуетсянаписать уравнение для величины p , что можно сделать, вычтя (3.27) из(3.26),

Это уравнение вклю чаети тензор напряжений Рейнольдса и произведение пульсаций, что неминуемо приведет при попытках написания уравнений для моментов, вклю чаю щ их пульсации давления, к появлению новых моментов старш их порядков.

3.3 Турбулентная вязкость

Самыми простыми являются модели первого порядка, которые тем или иным образом выражаю т тензор напряжений Рейнольдса через характеристики среднего поля скорости. П ри этом, практически всемодели первого порядка оперирую т понятием «турбулентная вязкость». В наиболее общ ем виде турбулентная вязкость вытекаетизформулы Буссинеска, предложенной для тензора напряжений Рейнольдса по аналогии с выражением для вязких напряжений, принятом для несжимаемой жидкости (1.10)

Важно подчеркнуть, что в отличие от молекулярной вязкости, турбулентная вязкость νt не является свойством жидкости, а зависит от самого

течения и даже для заданного течения может меняться от точки к точке. Другими словами, концепция турбулентной вязкости основана на рассмотрении некой «турбулентной жидкости», отличной по своим свойствам от вязкой жидкости в турбулентном течении.

Самый простой подход к рассмотрению турбулентных течений состоит в том, чтобы предположить, что турбулентная вязкость и энергия

103

турбулентных пульсаций k = ui 2 / 2 для данного течения есть величины по-

стоянные, не изменяю щ иеся от точки к точке. В этом случае уравнение Рейнольдса(3.19) принимает простейш ий вид

Н есмотря на чрезвычайную грубость такого предположения, оно позволяет в некоторых случаях правдоподобно описывать крупномасш табную структуру турбулентного течения. П олученное реш ения представляет в этом случае «ламинарный аналог»реального течения, так как получаемые профили скорости соответствую т ламинарным, а не турбулентным режимам течения. Значения турбулентной вязкости часто превышают при этом молекулярную вязкость на многие порядки. Так, например, для задач описания крупномасш табных течений в атмосфере принимают значения турбулентной вязкости в диапазоне 102 ¸104 ì2 / ñ, в то время как молекулярная кинематическая вязкость воздуха равна 2 ×10− 5 ì2 / c (т.е. различие составляет 7-9 порядков!).

3.4Длина пути смеш ения

Ìногие простые схемы замыкания опираю тся на идею П рандтля о длине пути смеш ения, характеристике потока, под которой понимают расстояние, проходимоежидкой частицей поперек потока, прежде чем происходитеесмеш ение с окружаю щ ей жидкостью . П онятие пути смеш ения исходит изаналогии между турбулентным перемеш иванием и молекулярным переносом в газах, когда характеристики молекул остаютсяпостоянными в промежутках между соударениями.

Ìодель П рандтля применяется обычно к простым потокам, в которых средняя скорость имеет только одну компоненту (пограничные слои,

каналы, трубы). Для определенности будем считать что U = (U x ,0,0) , à ñóù å-

ственным является только градиент средней скорости вдоль оси z . Тогда, следуя П рандтлю (1925г.), можно написать, что

2

ux uz = - l 2 æç¶U x ö÷ . (3.27) è ¶z ø

Ф ормула (3.27) получается и из качественных соображений, использую щ их идею турбулентной вязкости. Действительно, если считать, что ве-

104

личина пульсаций скорости в турбулентном потоке пропорциональна градиенту средней скорости, то из размерных соображений появляется коэффициент с размерностью длины : ui ≈ l ∂zU x . Логично также предположить,

что турбулентная вязкость тем больш е, чем выше уровень турбулентных пульсаций. Соображения размерности снова требую т наличия множителя с размерностью длины: νt ≈ lu . Тогда

νt ≈ l 2 ∂zU x ,

что в принципеэквивалентно формуле(3.27).

П еречислим некоторые задачи, в которых ш ироко используется гипотезаП рандтля о пути смеш ения.

Свободный слой со сдвигом ш ириной d . В этом случае длина пути смеш ения считается постоянной

l = Cd ,

ãäå Ñ - эмпирическая константа, величина которой имеет порядок

Ñ ≈ 0,1.

Турбулентный пограничный слой. П редположение о том, что размер доминирую щ их вихрей пропорционален расстоянию от стенки z , приводит к выражению

l = Cz .

В этом случае эмпирическая константа Ñ ≈ 0,4 .

Течение в открытом канале. Для канала глубиной d используется оценка

l = Cz 1 − z .

d

Эта формула применима и для закрытого канала. В этом случае глубина d заменяется на полуш ирину d / 2 . Ф ормула работаети в случае круглой трубы (вместо глубины в ней появляется радиус канала). Значение эмпирической константы в каждом случае свое.

Важно отметить, что определение длины пути смеш ения (длины перемеш ивания), предложенное П рандтлем (3.27) не является единственно возможным. Ш ироко используются и некоторые другие модели, опираю - щ иеся на это понятие. Н апример, Тейлор ввел модель, в которой тензор напряжений Рейнольдса для одномерного турбулентного потока задается выражением

(3.19),(3.20),(3.25),(3.32) è (3.33).

Для иллю страции возможностей полуэмпирических моделей на рисунке3.2, взятом из книги [4], показаны результаты вычислений осесимметричного следа за ш аром в несжимаемой жидкости с помощ ью различных моделей. Точками на рисунке обозначены экспериментальные данные, пунктирной линией - результаты расчета с помощ ью однопараметрической модели, ш трих-пунктирной - результаты расчета с помощ ью k − ε модели, сплош ной - результаты расчета с помощ ью другой двухпараметрической модели, специально разработанной для свободных течений.

Очевидно, что уравнения для статистических моментов, характеризую щ их более сложное течение, например, турбулентную конвекцию, должны вклю чать соответствую щ ие моменты для температурных пульсаций и смеш анныемоменты, характеризую щ ие корреляции поляскорости и поля температуры.

В заклю чение ещ е раз отметим, что полуэмпирические модели представляю т наиболее разработанное направление в изучении турбулентных течений, и что по ним сущ ествует подробная литература. Для начального систематического знакомства с ними можно порекомендовать удачно подобранныесборники статей под редакцией Ф роста и М оулдена [4] и Кольмана [5].

Рекомендуемая литература к третьей главе:

А.С.М онин, А.М .Яглом, Статистическая гидромеханика. Ч.1. М .:

Íàóêà, 1965. 639ñ.

À.С.М онин, А.М .Яглом, Статистическая гидромеханика. Ч.2. М .:

Íàóêà, 1967. 720ñ.

À.Дж.Рейнольдс, Турбулентныетечения в инженерных приложениях. М .: Энергия, 1979. 408с.

Турбулентность. П ринципы и применения. П од. ред. У.Ф роста, Т.М оулдена. М .:М ир, 1980. 536с.

М етоды расчета турбулентных течений. П од. ред. В.Кольмана. М .: М ир, 1984. 464с.