amo_presentation_6
.pdf
Оценка погрешности многочлена
Оценка погрешности интерполяции многочленом Лагранжа в некоторой произвольной фиксированной точке x* из отрезка [a,b], x* Î éëa,b ùû определяется формулой
Rn |
|
= |
|
f (x |
* |
)- Ln (x |
* |
) |
|
£ |
|
Cn +1 |
|
wn +1 (x |
* |
) |
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Cn +1 |
= max |
|
f (n +1)(x ) |
|
|
|
на ëéa,b ûù. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Оценка максимальной погрешности интерполирования на всем отрезке [a, b], т. е. в любой точке x Î éëa,b ùû имеет вид
Rn = f (x )- Ln (x ) £ |
Cn +1 |
(x ) = |
(n + 1)! Mn , Mn = max wn +1 |
= max (x - x0 )...(x - xi-1 )(x - xi )(x - xi+1 )...(x - xn )
на отрезке [a, b].
Пример 3. Пусть требуется определить, с какой
точностью можно вычислить значение функции y = x в
точке x* = 112 |
с помощью интерполяционной формулы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Лагранжа, если заданы узлы x0 |
|
= 100, x1 = 118, x2 = 138. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решение. |
|
|
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
требуется |
|
|
|
вычислить |
|||||||||||||||||||||||||||
погрешность |
|
в |
одной |
|
|
|
|
точке |
|
x* = 112, |
то применяем |
||||||||||||||||||||||||||||||||
формулу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Rn |
|
= |
|
|
|
f (x |
* |
) |
- Ln (x |
* |
) |
|
£ |
|
|
|
|
wn +1 (x |
* |
) |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n + 1)! |
|
|
|
ù |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn +1 = max |
|
|
( |
n +1 |
) |
(x ) |
|
é |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на ëa,b û. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
R2 |
|
= |
|
f (x* )- Ln (x* ) |
|
|
|
£ |
C3 |
|
|
w3 (x* ) |
|
, C3 = max |
|
f ¢¢¢(x ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3! |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Этап 1. Определим значение C3 :
|
1 |
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
1 |
|
-3 |
|
|
3 |
-5 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
y¢ = 2 x |
|
2 ; y¢¢ = -4 x |
|
|
2 ; y¢¢¢ |
= 8 x |
2 , тогда |
|||||||||||||||||||
C3 = max |
|
y¢¢¢ |
|
= |
3 |
|
1 |
= |
3 |
|
10-5 |
при 100 £ x £ 138. |
|||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
8 |
1005 |
8 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Этап 2. Вычислим многочлен |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
w3 (x ) = (x - x0 )(x - x1 )(x - x2 ) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
w3 (x* ) = |
|
(112 -100)(112 -118 )(112 -138 ) |
|
= |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
12 (-6) (-26) |
|
= 117 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Этап 3. Вычислим оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
R2 |
|
£ |
C3 |
|
w3 (x* ) |
|
, |
|
R2 |
|
£ |
3 |
10-5 |
1 |
|
117 » 1,17 10-3. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
3! |
|
|
|
|
||||
Интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов
Теорема о существовании многочлена Лагранжа для равноотстоящих узлов
Пусть заданы равноотстоящие узлы интерполирования
xi+1 - xi = h = const, |
i = 0,1,...,n -1, |
|
|||
и заданы значения |
|
|
|
|
|
y0 = f (x0 ),y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ),...,yn = f (xn ) |
|||||
функции f (x ) в этих узлах. Тогда существует |
|
||||
|
|
n |
|
||
n |
|
(m - j ) |
|
||
Ln (x ) = Ln (x0 + mh ) = å(-1)n-i |
i¹j,j =0 |
|
yi , |
||
i !(n -i)! |
|||||
i=0 |
|
|
|||
|
|
|
|
||
или в сокращенной форме
|
|
|
1 |
|
n |
Cni |
|
|
Ln (x ) |
= Ln (x0 + mh ) = |
vn +1 (m )å(-1)n-i |
|
yi |
||||
|
m -i |
|||||||
|
|
n ! |
i=0 |
|
||||
Оба многочлена имеют степень не выше n и |
|
|
|
|||||
принимают в узлах xi , i = 0,1,...,n значения yi , |
|
|
|
|||||
x1 - x0 |
= x2 - x1 |
= ... = xi+1 - xi |
= ... = xn - xn-1 |
= h |
||||
|
Ln |
(xi ) = yi ,i = 0,1,2,...,n . |
|
|
|
|||
Доказательство. Поскольку по условию узлы
равноотстоящие,
x1 - x0 = x2 - x1 = ... = xi+1 - xi = ... = xn - xn-1 = h ,
то
xi = x i-1+h = x0 + ih, i = 1,...,n .
Поскольку Ln (x ) = Ln (x0 + mh ) то x - x0 = mh :
x- x1 = x -(x0 + h ) = (x - x0 ) -h = mh -h = h (m -1),
x- x2 = x -(x0 + 2h ) = (x - x0 ) - 2h = mh - 2h = h (m - 2)
……………………………………………
x - xn = x -(x0 + nh ) = (x - x0 ) -nh = mh -nh = h (m -n )
Для фиксированных точек: xi = x i-1+h = x0 + ih,
xi - x0 = (x0 + ih ) - x0 = ih ,`
xi - x1 = x0 + ih - x0 -h = ih -h = h(i -1),
………………………………………..
xi - xi-1 = (x0 + ih ) -(x0 + (i -1)h ) = ih -(i -1)h = h , xi - xi+1 = (x0 + ih ) -(x0 + (i + 1)h ) = ih -(i + 1)h = -h
xi - xi+2 = (x0 + ih ) -(x0 -(i + 2)h ) = ih -(i + 2)h = -2h
………………………………………..
xi - xn = x0 + ih - x0 -nh = -h (n -i ).
L2 (x ) |
= |
(x - x1 )(x - x2 ) |
|
y0 + |
(x -x0 )(x - x2 ) |
+ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|||||||||||||||
(x0 - x1 )(x0 - x2 ) |
(x1 - x0 )(x1 - x2 ) |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
(x - x0 )(x - x1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
(x2 - x0 )(x2 - x1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
l |
|
= |
|
|
(x - x1 )(x - x2 ) |
= |
|
h (m -1) h (m - 2) |
= |
(m -1)(m - 2) |
||||||||||||||||
0 |
|
(x0 - x1 )(x0 - x2 ) |
|
|
-h (-2h ) |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
l = |
|
|
(x - x0 )(x - x2 ) |
|
= |
mh h (m - 2) |
|
= - |
m (m - 2) |
|
||||||||||||||||
(x1 - x0 )(x1 - x2 ) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
h (-2h ) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
l |
|
= |
|
|
(x - x0 )(x - x1 ) |
= |
|
mh h (m -1) |
= |
m (m -1) |
|
|
|
|||||||||||||
2 |
|
(x2 - x0 )(x2 - x1 ) |
|
|
2h h |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
(m - j ) |
|||||||||
L2 (x ) = L2 (x0 + mh ) = å(-1)n-i |
i¹j,j =0 |
|
|
|
|
yi |
||||||||||||||||||||
|
-i)! |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=0 |
i !(n |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x - x0 )(x - x1 )...(x - xi-1 )(x - xi+1 )...(x - xn )
(xi - x0 )(xi - x1 )...(xi - xi-1 )(xi - xi+1 )...(xi - xn )
Используя значения полученных сомножителей, запишем лагранжевый коэффициент:
m (m -1)(m - 2)...(m -i + 1)(m -i -1)...(m -n ) =
i (i -1)...1(-1)(-2)...(-(n -i))
|
|
n |
|
|
|
|
(m - j ) |
||
= |
|
j ¹i,j =0 |
|
, |
(-1)n-i |
|
|||
|
i !(n -i )! |
|||
Тогда многочлен Лагранжа примет вид:
|
|
n |
|
||
|
n |
(m - j ) |
|
||
Ln (x ) = Ln (x0 |
+ mh ) = å(-1)n-i |
i¹j,j =0 |
|
yi . |
|
i !(n -i)! |
|||||
|
i=0 |
|
|||
|
|
|
|
||
Для получения упрощенной формулы используем уже полученную упрощенную формулу для неравноотстоящих
|
n |
|
wn +1 (x ) |
|
|
n |
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
Ln (x ) = å |
|
|
|
yi = wn +1 å |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(x - xi )wn¢+1 |
(xi ) |
(x - xi )wn¢+1 (xi ) |
|||||||||||||
|
i=0 |
i=0 |
|||||||||||||
Она будет иметь вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
Cni |
|
|
|
|
|
Ln (x ) = Ln (x0 + mh ) = |
vn +1 (m )å(-1)n-i |
|
|
yi |
|||||||||||
|
m -i |
||||||||||||||
|
|
|
|
n ! |
i=0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Для |
получения этой |
формулы запишем |
полином |
||||||||||||
wn +1 (x ) |
заменив в нем x на x0 + mh |
исходя из замены |
|||||||||||||
x - x0 = mh . |
|
|
|
|
|
|
wn +1 (x ) |
||||||||
2. Эту же замену выполним в полиноме |
|
||||||||||||||
wn¢+1 (x ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x - xi )wn¢+1 (xi ) |
|
|||||
Используем обозначение x - x0 = mh :
wn +1 (x ) = (x - x0 )(x - x1 )...
...(x - xi-1 )(x - xi )(x - xi +1 )...(x - xn ) =
= hn +1m (m -1)(m - 2)...(m -n ) = wn +1 (m ) = hn +1vn +1 (m )
wn¢+1 (xi ) = (xi - x0 )(xi - x1 )...
...(xi - xi-1 )(xi - xi +1 )...(xi - xn ) =
hn +1i (i -1)(i - 2)...1(-1)(-2)...(-(n -i )) =
= hn +1 (-1)n-i i !(n -i )! = wn¢+1 (i ) = hn +1vn¢+1 (i )
Подставим значения полиномов wn +1 (x ) и wn¢+1(x) в формулу упрощенного лагранжева коэффициета для неравноотстоящих узлов: