amo_presentation_6
.pdfПрименяя последовательно выражение для вычисления производной произведения функций:
z ¢ = (uv )¢ = u¢v + uv¢.
Пример. w3 (x ) = (x - x0 )éë(x - x1 )(x - x2 )ùû
w3¢ (x ) = (x - x1 )(x - x2 ) + (x - x0 )éë(x - x1 ) + (x - x2 )ùû
w3¢ (x ) = (x - x1 )(x - x2 ) + (x - x0 )(x - x2 ) + (x - x0 )(x - x1 )
2 |
2 |
|
w3¢ (x ) = å(x - xj ) |
Обобщив полученные выражения, |
|
i=0 j =0 |
|
|
|
j ¹i |
|
|
n |
|
запишем: |
wn +1 (x ) = (x - xi ), |
|
|
i=0 |
|
|
n |
n |
|
wn¢+1 (x ) = å(x - xj ) |
|
i=0 j =0 i¹j
Производная этого многочлена в точке x = xi равна:
w3¢ (x0 ) = (x0 - x1 )(x0 - x2 ); w3¢ (x1 ) = (x1 - x0 )(x1 - x2 ) w3¢ (x2 ) = (x2 - x0 )(x2 - x1 )
wn¢+1 (xi ) = (xi - x 0 )(xi - x1 )...(xi - x i-1 )(xi - xi+1 )...(xi - xn )
Подставим wn +1 (x ) и wn¢+1 (xi ) в полином Лагранжа
n |
n |
x - x |
j |
Ln (x ) = åf (xi ) |
|
||
|
|
||
i=0 |
j =0 xi - xj |
||
|
i¹j |
|
|
Тогда получим сокращенную запись полинома Лагранжа
n |
|
wn +1 (x ) |
n |
|
yi |
|
Ln (x ) = å |
|
yi = wn +1 å |
|
|||
(x - xi )wn¢+1 (xi ) |
(x - xi )wn¢+1 (xi ) |
|||||
i=0 |
i=0 |
|||||
Пример 2. Для функции, заданной таблично, вычислить
с помощью многочлена Лагранжа значение функции в заданной точке x* = 2,20, отличной от узловой.
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
xi |
2,10 |
2,67 |
3,01 |
3,82 |
|
|
|
|
|
yi |
122,23 |
123,45 |
120,02 |
119,65 |
|
|
|
|
|
Решение.
Решение представим в виде последовательности
этапов
Этап 1. Строим многочлен Лагранжа с учетом
заданного числа узлов, n = 3:
L3 (x ) |
= |
|
(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 ) |
|
|
+ |
||||||
|
|
|
|
|
y0 |
|||||||
(x0 - x1 )(x0 - x2 )(x0 - x3 ) |
||||||||||||
+ |
|
(x - x0 )(x - x2 )(x - x3 ) |
|
+ |
||||||||
|
|
|
y1 |
|||||||||
(x1 - x0 )(x1 - x2 )(x1 - x3 ) |
||||||||||||
+ |
|
|
(x - x0 )(x - x1 )(x - x3 ) |
+ |
|
|||||||
|
|
|
|
y2 |
|
|||||||
(x2 - x0 )(x2 - x1 )(x2 - x3 ) |
|
|||||||||||
+ |
|
|
(x - x0 )(x - x1 )(x - x2 ) |
|
|
|
||||||
|
|
y3. |
|
|
|
|||||||
(x3 - x0 )(x3 - x1 )(x3 - x2 ) |
|
|
|
|||||||||
Этап 2. Вычислим значение функции в заданной точке x* = 2,20:
|
|
|
|
|
|
i |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
x |
i |
2,10 |
2,67 |
3,01 |
3,82 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
i |
122,23 |
123,45 |
120,02 |
119,65 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (2,20) » L3 (2,20) =
=(2,20 -2, 67 )(2,20 - 3, 01)(2,20 - 3, 82)122,23 (2,10 -2, 67 )(2,10 - 3, 01)(2,10 - 3, 82)
+(2,20 -2,10)(2,20 - 3, 01)(2,20 - 3, 82)123, 45 + (2,67 -2,10)(2,67 - 3, 01)(2,67 - 3, 82)
+(2,20 -2,10)(2,20 -2, 67 )(2,20 - 3, 82)120, 02 + (3, 01 -2,10)(3, 01 -2, 67 )(3, 01 - 3, 82)
+(2,20 - 2,10)(2,20 - 2, 67 )(2,20 - 3, 01)119, 65 122, 56. (3, 82 -2,10)(3, 82 -2, 67 )(3, 82 - 3, 01)
Пример 3. Для той же функции, заданной таблично, вычислить с помощью сокращенной записи многочлена
Лагранжа значение функции в заданной точке x* = 2,20,
отличной от узловой.
|
|
|
|
|
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
xi |
2,10 |
2,67 |
3,01 |
3,82 |
yi |
122,23 |
123,45 |
120,02 |
119,65 |
|
|
|
|
|
Решение.
Решение также представим в виде последовательности этапов
Этап 1. Строим сокращенную запись многочлена
Лагранжа с учетом заданного числа узлов, n = 3:
L3 (x ) = w4 (x )åi 30 (x - xiy)iw4¢ (xi ) =
=
= w4 (x ) æçççè(x - x0y)0w4¢ (x0 ) + (x - x1y)1w4¢ (x1 )+ + (x - x2y)2w4¢ (x2 ) + (x - x3y)3w4¢ (x3 )ö÷÷÷÷ø
w4 (x ) = (x - x0 )(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 ) w4¢ (x0 ) = (x0 - x1 )(x0 - x2 )(x0 - x3 )
w4¢ (x1 ) = (x1 - x0 )(x1 - x2 )(x1 - x3 ) w4¢ (x2 ) = (x2 - x0 )(x2 - x1 )(x2 - x3 ) w4¢ (x3 ) = (x3 - x0 )(x3 - x1 )(x3 - x2 )
Этап 2. Вычислим значения полинома w4 (x ) при x* = 2,20 и табличных значениях xi :
w4 (x ) = (x - x0 )(x - x1 )(x - x2 )(x - x3 ) =
= (2.20 - 2.10)(2.20 -2.67 )(2.20 - 3.01)(2.20 - 3.82) = -0, 0617
w4¢ (x0 ) = (x0 - x1 )(x0 - x2 )(x0 - x3 ) =
(2.10 - 2.67 )(2.10 - 3.01)(2.10 - 3.82) = -0.8921
w4¢ (x1 ) = (x1 - x0 )(x1 - x2 )(x1 - x3 ) =
(2.67 - 2.10)(2.67 - 3.01)(2.67 - 3.82) = 0.2229
w4¢ (x2 ) = (x2 - x0 )(x2 - x1 )(x2 - x3 ) =
(3.01 - 2.1)(3.01 - 2.67 )(3.01 - 3.82) = -0.2506
w4¢ (x3 ) = (x3 - x0 )(x3 - x1 )(x3 - x2 ) =
(3.82 - 2.10)(3.82 - 2.67 )(3.82 - 3.01) = 1.6022
Этап 3. Подставим вычисленные значения
w4 (2.20) = -0.0617, w4¢ (2.10) = -0.8921, w4¢ (2.67 ) |
= 0.2229, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
w4¢ (3.01) = -0.2506, w4¢ (3.82) = 1.6022 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
в исходное выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
yi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
L3 (x ) = w4 (x )å |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
)w4¢ |
(xi ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
æ |
|
i=0 (x - xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= w4 |
(x ) ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||
|
|
|
¢ |
(x0 ) |
(x |
|
|
|
|
|
|
¢ |
(x1 ) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
è |
(x - x0 )w4 |
|
- x1 )w4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
|
|
|
|
|
|
ö |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x |
¢ |
(x2 ) |
(x |
|
|
|
|
|
¢ |
(x3 ) |
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
- x2 )w4 |
|
|
- x3 )w4 |
ø |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
æ |
|
|
|
|
|
|
|
122.23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
123.45 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
L 2.20 = -0.0617 |
ç- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
|||||||||||||||
3 ( |
) |
|
|
|
|
|
è |
2.20 - 2.10 |
0.8921 |
|
|
2.20 - 2.67 |
0.2229 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
120.02 |
|
119.65 |
ö |
|
||
|
|
÷ |
|
||||
- |
|
|
+ |
|
|
÷ |
= 122.56 |
|
|
|
|
||||
(2.20 - 3.01)0.2506 |
(2.20 - 3.82)1.6022 |
÷ |
|||||
|
|
÷ |
|
||||
|
|
ø |
|
||||
Погрешность многочлена Лагранжа Погрешность многочлена. При замене функции f (x ) многочленом Ln (x ) возникает погрешность
Rn (x ) = f (x ) - Ln (x ), называемая также остаточным
членом интерполяционной формулы,
f (x ) = Ln (x ) + Rn (x ).
Теорема о погрешности. Погрешность интерполяционного многочлена Лагранжа для произвольно заданных узлов определяется формулой
Rn (x ) = wn +1 (x ) f (n +1)(x), где
(n + 1)!
wn +1 (x ) = (x - x 0 )(x - x1 )..(x - x i-1 )(x - xi )(x - xi+1 )..(x - xn ).
В силу неопределенности точки x определить точно Rn (x )
нельзя, поэтому при проведении вычислений находятся только приближенные оценки погрешностей интерполирования.