ргр 2007 теоретична механіка
.pdfДиференціальне рівняння поступального руху тіла 4 вздовж осі х4 виглядає так:
4 4 = 4 4 = 3 − тр4 − 4 sin = 3 − 4 − 4 sin . (5.5)
Розглядаючи рівняння (5.1-5.5) як систему рівнянь з урахуванням
3 = 3 cos , 4 = 4 cos отримаємо:
m1W1 m1 g T1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
I |
|
|
|
|
( T T |
|
) R |
|
M , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
W |
|
T |
|
T |
|
m |
|
g sin |
|
F |
, |
(5.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
I |
|
3 3 |
|
|
2 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
тр 3 |
|
|
|||||
3 |
|
3 |
T |
2 |
R |
2 |
T |
r F |
|
R |
3 |
m |
3 |
g cos , |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 3 тр 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
m4W4 T3 |
fm4 g cos m4 g sin . |
|
|
||||||||||||||||||
Лінійні Wi та кутові εi прискорення пов’язані між собою. Їх взаємозв’язок можна отримати, взявши похідну за часом від співвідношень (1.16)
|
|
|
W1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W1 |
; |
W |
W1 |
; |
W W |
R3 r3 |
. |
||||
|
2 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2R3 |
3 |
2 |
|
4 |
1 |
2R3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
З урахуванням (5.7) систему (5.6) перепишемо у вигляді: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
m W m g T , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
I |
1 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
W1 |
( T T ) R M , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
2 R2 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
m3 |
W1 |
T2 T3 m3g sin Fтр 3 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
I3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
W1 |
|
T2R3 T3r3 Fтр 3R3 m3g cos , |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2 R |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R3 r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
m4W1 |
|
|
|
|
T3 fm4 g cos m4 g sin . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 R3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(5.7)
(5.8)
Система з п’яти рівнянь являє собою систему лінійних алгебраїчних рівнянь з п’ятьма невідомими – чотирма силами (T1, T2, T3, T4) та прискоренням W1
поступального руху тіла 1.
Нескладно побачити, що виключаючи з третього та четвертого рівнянь системи (5.8) силу тертя Fтр3 , отримаємо рівняння
(I |
m R2 ) |
W1 |
T 2R T (R r |
) m gR |
sin α δm g cosα . (5.9) |
|
2R |
||||||
3 |
3 3 |
2 3 3 3 3 |
3 3 |
3 |
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
З урахуванням того, що I3 m3R32 I3p – момент інерції східчастого диску
3 відносно миттєвої осі обертання, а |
W1 |
3 кутове прискорення тіла 3, можна |
|
||
|
2R3 |
|
стверджувати, що (5.9) – рівняння обертального руху диска 3 навколо миттєвої осі обертання.
Виключаючи з перших двох рівнянь (5.8) силу натягу T1, отримаємо: |
|
||||||||||||||
|
+ |
2 |
|
= − − . |
|
(5.10) |
|||||||||
|
|
||||||||||||||
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вирішуючи спільно рівняння (5.9) та п’яте рівняння з системи (5.8) з метою |
|||||||||||||||
виключення сил натягу T3, маємо: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
+ 2 |
+ ( − )2 = |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 3 |
3 |
|
|
3 |
3 |
|
4 |
3 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 2 ∙ 2 3 − 3 + 3 |
− 4 + |
3 − 3 . |
(5.11) |
||||||||||||
Виражаючи з (5.10) силу 2:
|
= |
− |
|
− |
|
+ |
2 |
, |
(5.12) |
|
|
2 |
|||||||||
2 |
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2
та підставляючи (5.12) в (5.11), з урахуванням того, що 2 = 2 22 ;
3 = 3 32 отримаємо:
|
|
|
∙2 |
− |
2 3 − |
|
+ |
|
− |
|
|
+ |
− |
||||||||
1 = |
|
1 |
3 |
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 3 |
. (5.13) |
|||
|
|
|
|
|
2 |
3+ 4 3− 3 2+ |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
3 3+ 3 |
|
∙2 + 3∙2∙ 2 2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 2 |
|
2 3 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Поділяючи чисельник та знаменик (5.13) на 2 3, отримаємо вираз для 1,
тотожний (1.23).
В разі необхідності знаходження будь-якого іншого кінематичного параметру, наприклад 3, треба в (2.7) всі інші параметри виразити через 
:
|
= |
∙ 2 ; |
|
= |
2 3 |
; |
= ; |
|
= |
− . (5.14) |
|
||||||||||
1 |
3 |
3 |
2 |
3 2 |
3 |
3 3 |
4 |
3 3 |
3 |
|
32
Тоді система рівнянь (5.6) буде мати вигляд:
m1 3 2R3 m1g T1; |
|
||||||
|
|
2R3 |
(T T )R M ; |
|
|||
I |
|
||||||
|
|
||||||
|
2 3 R |
1 |
2 |
2 |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
(5.15) |
m3 3R3 T2 T3 m3g sin Fтр3; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 3 T2R3 T3r3 Fтр3R3 m3g cos ; |
|||||||
m |
(R |
r ) T |
fm g cos m g sin . |
||||
|
4 3 |
3 |
3 |
3 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вирішуючи систему рівнянь (5.15) відносно 
, отримаємо вираз,
тотожний (1.30).
Продемонстроване розв’язання задачі з дослідження динаміки системи чотирма методами дає можливість проаналізувати переваги кожного з них.
33
Список рекомендованої літератури
1.Кильчевский Н.А. Курс теоретической механики. Т.2.-М.:Наука, 1983.-640с.
2.Павловський М.А. Теоретична механіка: Підруч.-К.:Техніка, 2002.-512с.
3.Павловский М.А., Акинфиева Л.Ю., Бойчук О.Ф. Теоретическая механика.
Динамика.-К.: Вищашк., 1990.-480с.
4. Теоретична механіка. Динаміка і аналітична динаміка. Конспект лекцій/
Апостолюк О.С., Штефан Н.І., http://library : kpi. ua: 8080/handle/123456789/413
5. Теоретична механіка. Кінематика. Динаміка та аналітична механіка/ [Текст]:
Навч. посіб. /Г.Я.Міщук, Н.І.Штефан.-К.: НТУУ “КПІ”, 2012.-196с.
6.Бать М.И., Джанелидзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретическая механика в примерах и задачах.- М.: Наука, 1990.- Т.2.-683с.
7.Теоретична механіка: Збірник задач/ О.С.Апостолюк, В.М.Воробьов,
Д.І.Ільчишина та ін.; За ред. М.А.Павловського.-К.:Техніка, 2007.-400с.
8. Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике.-М.:Наука, 1980.-
446с.
9. Яблонский А.А. и др. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике.-М.: Высш.шк., 1978.- 240с.
34
Зміст
Вступ........................................................................................................................ |
|
.........3 |
Завдання до РГР.............................................................................................................. |
.5 |
|
Демонстраційна задача................................................................................................. |
11 |
|
1. |
Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи...................... |
11 |
2. |
Дослідження умов рівноваги механічної системи....................................... |
20 |
|
2.1. Загальне рівняння статики................................................................. |
21 |
|
2.2. Умови рівноваги кожного тіла окремо............................................. |
23 |
|
2.3. Рівновага як окремий випадок руху при W1 0 ……………........... |
23 |
3. |
Принцип Д’Аламбера-Лагранжа................................................................... |
25 |
4. |
Рівняння Лагранжа II роду............................................................................. |
26 |
5. |
Метод кінетостатики....................................................................................... |
29 |
Список рекомендованої літератури............................................................................. |
34 |
|
35