ргр 2007 теоретична механіка

В таблиці 1 параметр - прискорення тіла, що рухається поступально, чи прискорення центру мас диска, що котиться нерухомою поверхнею, - кутове прискорення тіла, що обертається навколо нерухомої осі чи здійснює плоскопаралельний рух.

Демонстраційна задача

Вантаж 1 масою 1 прикріплений до кінця невагомої нерозтяжної нитки,

перекинутої через однорідний диск 2 масою 2 та радіусом 2 і навитої на східчастий диск загальною масою 3 та радіусами ступенів 3 та 3 . Радіус інерції східчастого диска відносно горизонтальної осі, що проходить перпендикулярно до площини малюнка через його центр мас, дорівнює 3.

Рухаючись вертикально, вантаж 1 приводить у рух східчастий диск 3, що котиться без ковзання по похилій площині з кутом нахилу до горизонту .

Коефіцієнт тертя кочення диска 3 похилою площиною - .

На менший радіус 3 диска 3 також навита невагома нерозтяжна нитка, що переміщує по цій же похилій площині вантаж 4 масою 4 з коефіцієнтом тертя ковзання . До диска 2 прикладений момент пари сил М .

В початковий момент часу ця механічна система знаходилась в стані спокою. Після зняття гальм система почала рухатись під дією сил ваги складових елементів та момента пари сил M.

Знайти лінійне прискорення 1 вантажа1 (рис.2).

Подамо роз’вязання задачі чотирма методами.

1. Теорема про зміну кінетичної енергії матеріальної системи

Згідно цієї теореми приріст кінетичної енергії матеріальної системи за певний проміжок часу дорівнює сумі робіт зовнішніх та внутрішніх сил, що діють на точки матеріальної системи

11

У виразі (1.1) кінетична енергія 0=0 , тому що в початковий момент часу система знаходилась в стані спокою. Робота внутрішніх сил також дорівнює нулю, оскільки ми вважаємо, що тіла 1,2,3 та 4 в процесі руху не деформуються, а

отже ми маємо справу з незмінною системою абсолютно твердих тіл. Тоді (1.1)

має вигляд

матеріальну систему в замкнутий об’єм. Зовнішні сили – це сили взаємодії між

тілами всередині цього замкнутого об’єму та тілами, що знаходяться поза ним.

Отже, по-перше, зовнішні сили – це сили ваги . По-друге, це – реакції в’язей,

які деяким чином обмежують рух цих тіл. Для тіла 2 це реакції циліндричного шарніру 2 та 2.

Для того, щоб вказати напрямок дії реакцій в’язей для тіл 3 і 4, треба припустити, що система рухається в одному з можливих напрямків. Якщо припустити, що тіло 1 рухається донизу, то диск 2 – обертається проти стрілки годинника, східчастий диск 3 переміщується вправо догори та обертається за

стрілкою годинника, а тіло 4 рухається вправо вгору по нерухомій площині

(покажемо напрямки руху стрілками).

Відповідно до вказаних напрямків руху реакція нерухомої поверхні при русі по ній східчастого диску 3 складається [2] з сили тертя кочення тр3, прикладеної в миттєвому центрі швидкостей і спрямованої проти напрямку руху, та нормальної складової 3, зміщеної в напрямку руху на величину ( коефіцієнт тертя кочення).

Сила реакції поверхні при русі тіла 4 складається з нормальної складової 4

13

Величини сил нормальних реакцій 3 та 4 отримаємо, спроєцювавши всі сили, прикладені до тіл 3 та 4, включаючи і сили натягу ниток, на ось,

перпендикулярну напрямку її руху. Враховуючи те, що рух у цьому напрямку відсутній, отримаємо:

3 = 3 та 4 = 4 .

Елементарна робота сил, прикладених до твердого тіла, дорівнює:

де та 0 - головний вектор та головний момент відносно центра зведення сил,

що діють на тверде тіло; та - елементарні поступальне та обертальне переміщення центра зведення сил.

Елементарна робота сил, що діють на матеріальну систему, що розглядається, дорівнює:

Позначивши елементарне переміщення тіла 1, що здійснюється у напрямку стрілки, як 1, маємо ′1= 1 1, Тіло 2 здійснює обертальний рух проти стрілки годинника. Коли воно повернеться на елементарний кут 2, момент,

прикладений до нього, виконає роботу:

′2 = −2.

( роботи сил 2 та 2 дорівнюють нулю, оскільки сили прикладені до нерухомої точки).

Для того, щоб визначити елементарну роботу сил, прикладених до тіла 3,

зведемо цю систему сил до миттєвого центру швидкостей (точка 3). Тоді,

знаючи, що миттєвий центр швидкостей – нерухомий, отримаємо ′3 у вигляді

14

роботи головного моменту сил при обертанні навколо точки 3 на елементарний кут 3:

виконує). Елементарна робота сил, що діють на тіло 4, на переміщенні 4

дорівнює

′4 = −4 ∙ 4 − тр4 4 = −4 + 4. (1.6)

Отже, елементарна робота сил, що діють на матеріальну систему, дорівнює

′ = 1 1 − 2 − 3 + 3 3 − 4 + 4.

(1.7)

Матеріальна система, що розглядається, має один степінь вільності, отже – переміщення, які здійснюють елементи цієї системи, є однозначно взаємозалежними. Ця взаємозалежність має вигляд наступних рівностей:

∙1 3 − 3 =

2 3

(1.9)

15

Вважаючи, що тіло 1 з початкового до кінцевого моменту часу пройшло відстань 1, повна робота зовнішніх сил, прикладених до точок матеріальної системи буде дорівнювати:

Тепер обчислимо кінетичну енергію системи T, яку вона набула за цей же проміжок часу. Кінетична енергія системи складається з

- кінетичної енергії поступального руху тіл 1 і 4

де 1 та 4 - лінійні швидкості цих тіл; - кінетичної енергії обертального руху диску 2

де 2 = 12 2 22 осьовий момент інерції диска 2 відносно осі, що проходить через центр мас та збігається з віссю обертання, 2- кутова швидкість обертання диска

2; - кінетичної енергії плоскопаралельного руху східчастого диска 3, яка за

теоремою Кеніга обчисляється як сума кінетичної енергії поступального руху тіла разом з центром мас та кінетичної енергії обертального руху тіла навколо центра мас:

16

де 3 - лінійна швидкість центра мас диска 3,

3 - кутова швидкість обертання диска 3,

3 = 3 32 - момент інерції східчастого диска 3 відносно його центра мас,

3 - радіус інерції східчастого диска 3.

Неважко побачити ( пересвідчитись в цьому рекомендуємо студентам самостійно), що, розглядаючи плоскопаралельний рух диска 3 як миттєво-

обертальний навколо миттєвої осі обертання, яка проходить через миттєвий центр швидкостей (точка 3), кінетична енергія тіла 3 може бути записана у вигляді

Вище було зазначено, що оскільки система має один степінь вільності, то

лінійні і кутові швидкості її складових взаємозалежні. Ця залежність може бути отримана зі співвідношень (1.8). Дійсно, маючи на увазі, що елементарні

З урахуванням (1.16) вираз (1.15) отримає вигляд:

17

Пам’ятаючи, що матеріальна система, рух якої розглядається, є незмінною,

стверджуємо що вирази в квадратних дужках в (1.18) є константами. Позначивши

то остаточно прискорення 1 дорівнює:

Або

(1.23)

18

Перевіряючи розмірність складових в чисельнику і знаменнику (1.23),

бачимо, що всі складові в чисельнику мають розмірність сили [H], а в знаменнику

– розмірність маси [кг]. Отже, розмірність виразу в правій частині (1.23) – лінійне прискорення [мс−2].

Для варіантів, де треба знайти будь-який інший кінематичний параметр,

кінетичну енергію і роботу треба виражати через відповідні змінні. Якщо в

(1.25)

а повна робота зовнішніх сил, прикладених до точок матеріальної системи, за аналогією з (1.10), на кутовому переміщенні 3 тіла 3 буде дорівнювати

(1.26)

- співвідношення між кутовими і лінійними швидкостями тіл, аналогічно виразу (1.16), повинні бути виражені через 3:

19

тоді кінетична енергія матеріальної системи, за аналогією з (1.17), буде мати

вигляд:

3 2 3

Рівність (1.31) збігається з рівністю, яку можна отримати, якщо взяти похідну за часом від першого з рівнянь (1.27).

2. Дослідження умов рівноваги механічної системи

Оскільки в роботі формула для прискорення W1 отримана без врахування істинного напрямку руху, який визначається деяким співвідношенням між

20