ргр 2007 теоретична механіка

22

2.2. Умови рівноваги кожного тіла окремо

Прикладемо до кожного тіла окремо (рис. 4) активні сили і реакції в’язей (як

і раніше, вважаємо, що = 0; δ = 0.)

Складемо рівняння рівноваги :

-тіла 1 у вигляді рівності нулю сум проекцій сил на напрямок можливого руху

- тіла 2 у вигляді рівності нулю сум моментів відносно вісі обертання:

-тіла 3 у вигляді рівності нулю сум моментів відносно миттєвого центру швидкостей (точка 3)

-тіла 4 у вигляді рівності нулю сум проекцій сил на напрямок можливого руху:

що тотожно збігається з (2.5).

2.3. Рівновага як окремий випадок руху при 1 = 0

Прирівняємо до нуля вираз для 1 з (1.23). Оскільки знаменник виразу

(1.23) нулю не дорівнює, прирівняємо до нуля чисельник. Пам’ятаючи, що задача про умови рівноваги вирішувалась в припущенні, що = 0; δ = 0, отримаємо:

що тотожно виразам (2.12) та (2.5).

23

24

3. Принцип Д’Аламбера-Лагранжа

Принцип Д’Аламбера-Лагранжа, або загальне рівняння динаміки,

стверджує, що при русі механічної системи, на яку накладаються ідеальні стаціонарні в’язі, сума робіт активних сил і сил інерції на будь-якому можливому переміщенні точок системи дорівнює нулю:

=1

Увиразі (3.1) і - активні сили та моменти, що прикладені до точок матеріальної системи ( до них також відносяться неідеальні складові реакціх

в’язей, наприклад, сили тертя). В цьому виразі і - сили інерції, які за Д’Аламбером обраховуються як і = − і для поступального руху ( - маса тіла, що рухається поступально, і - поступальне прискорення), та і = − і; для обертального руху ( – осьовий момент інерції, - кутове прискорення).

Акцентуємо увагу на те, що сили інерції спрямовані (про це свідчить знак “-“

мінус) проти відповідного прискорення.

Покажемо на рис.5 активні сили та момент , реакції неідеальних в’язей 3 та тр4, а також сили інерції поступального та обертального

рухів (напрямки лінійних прискорень збігаються з напрямками елементарних переміщень dri, а напрямки кутових прискорень збігаються з напрямками елементарних кутів повороту dφi (див. рис. 2).

Уявно надамо матеріальній системі можливих переміщень δ і та δφ (див.

рис. 5) і запишемо суму можливих робіт зовнішніх сил у відповідності до (3.1)

25

співвідношень між кутовими прискореннями тіл та прискоренням центра мас тіла 3:

необхідно у вираз (3.2) підставити замість співвідношень (3.3) аналогічні вирази

27

де - кінетична енергія матеріальної системи; - узагальнена координата,

− узагальнена швидкість; - узагальнена сила, що відповідає цій узагальненій координаті.

У відповідності з тим, що визначенню підлягає прискорення 1, в якості узагальненої координати обираємо 1 = 1 – вертикальне переміщення тіла 1.

Інших узагальнених координат – немає, оскільки система має один степінь вільності .

Згідно (4.1) визначимо кінетичну енергію системи через обрану узагальнену координату 1 та узагальнену швидкість 1. Використовуючи (1.17) з

урахуванням 1 = 1, отримаємо:

отримаємо результат, тотожний (1.23).

У разі необхідності знаходження наприклад 3, в якості узагальненої координати треба обирати кут повороту тіла 3 - 3 (тоді узагальнена швидкість буде 3).

28

5.Метод кінетостатики

Інший спосіб вирішення вищесформульованої задачі пов'язаний з необхідністю складання диференціальних рівнянь руху кожного тіла окремо і

подальшого вирішення цих рівнянь як системи.

Кожне з тіл подумки укладемо в замкнутий об’єм (рис. 6). До зовнішніх сил в цьому випадку додаються також сили натягу ниток (i=1,2,3).

Дуже важливим питанням при вирішені задачі цим методом є правильний

вибір напрямків осей, в яких досліджується рух тіл. Для кожного з тіл покажемо

прискорено обертаються (осі 2 та 3).

Як відомо диференціальне рівняння поступального руху тіла записується як

= , а обертального - = . Рівняння плоскопараллельного руху – сукупність

двох вищенаведених рівнянь.

Отже, диференціальне рівняння поступального руху тіла 1 вздовж осі х1 має

диференціального рівняння обертального руху навколо осі z3, що проходить через центр мас

29

30