lecture_martyshev

Эпюры Nz строим по формулам (в), которые показаны на рис. 3.9в.

Следует отметить, что направления неизвестных реакций можно принимать произвольно. После расчета знаки уточнят действительное направление реакций. Если реакция получается со знаком (+) значит направление выбрано правильно, если со знаком (–) – то направление действительное противоположно выбранному.

II. Определить усилия в стержнях плоской шарнирно-стержневой системы, состоящей из трех стержней, нижние концы которых соединены общим шарниром D и загружены в нем вертикальной силой F

(рис. 3.10).

Пусть площадь сечения среднего стержня равна A1 , а крайних стержней A2 = nA1, угол между стержнями α , длины стержней l1 и l2 .

Если определить реакции в шарнирах А, В и С, то задача решена.

Число реакции три. Но т.к. сис-

Однако условие SFz = 0 равносильно уже использованному условию

симметрии. Таким образом, для решения задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение совместности деформаций стержней.

Уравнения равновесия ΣFy = 0 имеет вид

41

Стержень 2 из начального положения (сплошная линия) переводим в деформированное состояние (пунктир) так: отсоединим в т.D, удлиним на l2 , вращая вокруг т.А соединим в т. D1. При этом получим

прямоугольный треугольник с l2 и l1 .

Подставим в выражения (б) значения l2 и l1 полученные выше и

Решая совместно уравнения (а) и (в) получим:

сечений стержней 2 (т.е. n), усилия в них увеличиваются, а усилие в стержне BD при этом уменьшается

В статически же определимых системах распределение усилий в конструкции не зависит от жесткости его элементов.

III. Бесконечно жесткий брус АВ шарнирно прикреплен к неподвижной опоре, подвешен на трех стержнях и нагружен силой F (рис. 3.11). Определить усилия в стержнях?

в стержнях использовать уравнения равновесия SFz = 0 и ΣFy = 0 здесь

нецелесообразно, т.к. в них войдут две не интересующие нас опорные реакции в шарнире А.

Дополнительные уравнения можно записать, рассматривая деформацию системы. Брус АВ считаем очень жестким, его собственными

42

Это условия совместности деформаций стержней.

Здесь, так же как и в задаче №II считаем, что при деформации системы угол между стержнем 3 и брусом АВ остался неизменным.

Подставив в уравнения (в) соотношения (б) получим два уравнения, связывающих между собой усилия N1, N2 и N3 . Совместно с уравнением

(а) получаем систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными величинами N1, N2 и N3 , из которых они и могут быть

найдены.

IV. Определение монтажных напряжений

Бесконечно жесткий брус закреплен одним концом и подвешен на двух стержнях (рис. 3.12). При изготовлении стержня ВС его длина оказалась короче проектной на величину . При сборке системы стержень ВС придется вытянуть силой N1, что вызывает в свою очередь сжатие

стержня DE силой N2 . Определить усилия в стержнях ВС и DE.

Опора А даст две реакции, уравнений статики можно составить три:

ΣFy = 0, ΣFz = 0 и SmomA = 0

данная система является однажды статически неопределимой.

Здесь, так же как и в предыдущей задаче, нецелесообразно использовать первые два уравнения равновесия, т.к. в них войдут не

интересующие нас реакции в шарнире А. Последнее уравнение равновесия SmomA = 0 даст

Деформированный вид системы изображен пунктиром на рис. 3.12. Из условия деформации (подобия треугольников) получим:

43

Решая уравнения г) и д) можно найти σ1 и σ 2 .

V. Определение температурных напряжений

Определить внутренние усилия в призматическом брусе, заделанном

двумя концами, от равномерного нагрева всего бруса на to (рис.3.13).

При повышении температуры брус стремиться удлиниться и оказывает давление на заделки, в которых возникнут реакции.

Отбросим одну из заделок, а ее действие заменим опорной реакцией R . Тогда стержень свободно удлиниться на величину

Dlt =α to × l

где α − коэффициент температурной деформации. Под дейс-

твием внутренней силы N равной опорным реакциям ( N = R ), брус должен сократиться на такую же величину, т.к. его длина между заделками не может измениться, т.е.

lN = l t

С учетом закона Гука

44

NEAl = α tol

откуда

N = EAα to

При нагревании возникают сжимающие усилия, а при охлаждении – растягивающие и они не зависят от длины бруса.

Общий случай статически-неопределимых задач растяжения (сжатия).

Иногда в статически неопределимых конструкциях приходиться одновременно учитывать влияние внешней нагрузки, изменение температуры и неточности изготовления.

Первый путь – это одновременный учет всех факторов. В этом случае в уравнения совместности деформаций должны быть включены члены, отражающие влияние всех этих обстоятельств. Полученные в результате расчета усилия и напряжения являются окончательными.

Второй путь – заключается в раздельном определении усилий и напряжений, вызванных нагрузкой, температурой, неточностью изготовления. Решается как бы несколько отдельных задач, в каждой из которых учитывается только один из факторов. Окончательные усилия и напряжения определяются путем алгебраического суммирования этих величин. Последний путь часто являются более ясным и удобным, вызывая лишь небольшое увеличение количества выкладок. Он носит название сложения действия сил.

VI. Бесконечно жесткий брус KВ подвешен на трех стержнях из разных материалов и сечений, нагружен силой F , при этом средний стержень короче проектной длины на величину . Во время эксплуатации система может нагреваться на t . Определить усилия в стержнях (рис.

3.14).

Полагаем, что усилия во всех стержнях растягивающие. Можно составить два уравнения равновесия:

Первое сумма проекций на вертикаль –

N1 + N2 + N3 - F = 0 (а)

Второе – сумма моментов относительно т. D

N1 × a - N3 × b + F × c = 0 (б)

Третье уравнение составим Рис.3.14 из рассмотрения условий деформации системы, показанной пунктиром на рис. 3.14 (из подобия DK1D2D1

и DK1B2B1)

45

Значения входящих в это уравнение удлинений с учетом влияния температуры будут следующими:

Подставив соотношения г) в уравнение в) и учитывая уравнения а) и б) придем к системе трех уравнений с тремя неизвестными величинами

N1, N2 , N3 .

Из этой системы можно найти усилия N1, N2 и N3 . Если наши

предположения о направлении усилий в каком-нибудь стержне оказалось ошибочными, то из решения мы получим отрицательное значение этого усилия. Здесь использован первый путь.

Механические свойства материалов

а) Диаграмма растяжения Эти диаграммы получают при нагружении специальных стандартных

образцов из испытываемого материала на специальных испытательных машинах. Испытания проводят для определения механических характеристик материалов. Испытательные машины снабжены

поперченного сечения образца, l0 − его начальная длина.

46

клон этого участка определяет tgα = σε = E − продольный модуль

упругости согласно закону Гука. Поэтому, законом Гука можно пользоваться до напряжений, не превышающих σпц ;

ОС – участок упругих деформаций до σ у − предел упругости. Эти

деформации исчезают после снятия нагрузки;

DL – горизонтальный участок (площадка текучести при σ т − предел

текучести). Здесь образец удлиняется при постоянной нагрузке (течет). Величины σ у и σ т отличаются незначительно, поэтому на практике

их считают совпадающими, LMP − участок упрочнения, т.к. дальнейшая деформация образца происходит только при увеличении нагрузки до σ вр −

предел прочности (временное сопротивление). До т. Р (σ вр ) поперечные

деформации образца по всей его длине одинаковы. После т. Р эти деформации концентрируются в одном (слабом) месте, где начинает образовываться шейка – местное значительное сужение образца. За т. Р ординаты диаграммы уменьшаются, нагрузка падает, что объясняется значительным уменьшением поперечного сечения в шейке. В т. К происходит разрыв образца в шейке.

Итак: из этого испытания можно получить следующие механические характеристики Ст.3: σпц , σ т , σ вр , Е.

Если разгрузить образец из т. М, то диаграмма разгрузки пойдет по линии MN параллельной ОВ, часть деформаций εу исчезает, а часть εр

останется. εу – упругие деформации, εр – остаточные, объясняются

пластическими свойствами материала.

Если сразу вновь начать нагружать образец, то диаграмма пойдет по линии NMPK. Эта диаграмма отличается от диаграммы начальной OBCDLMPK следующим: 1) увеличился σпц , 2) исчезла площадка

текучести. Это новое поведение материала объясняется «наклепом», полученным при первом нагружении. «Наклеп» может возникать и при других видах деформации. При всякой холодной обработке металла, при которой возникают напряжения выше σ т , появляется «наклеп». Например,

при продавливании отверстий в стальных листах их края подвергаются «наклепу», становятся хрупкими (могут появиться трещины). «Наклеп» устраняется отжигом, а также со временем он сам исчезает (при «отдыхе»).

определяются по начальной площади A0 сечения образца, а эта площадь

постоянно уменьшается при нагружении и особенно при появлении шейки. Можно построить диаграмму с учетом этого, она называется истинной. Истинная диаграмма мало отличается от условной почти до конца участка упрочнения и значительно отличается после появления шейки. В реальных

47

конструкциях не допускаются напряжения выше σ т , поэтому для практики

достаточно условной диаграммы.

После разрушения образца можно определить его остаточные деформации.

б) Диаграммы растяжения различных материалов.

На рис. 3.16 показаны сравнительные условные диаграммы различных материалов при растяжении.

Ст.6: обладает более высокой прочностью, чем Ст.3, площадка текучести отсутствует, шейка почти не образуется. Остаточные деформации после разрушения меньше, чем у Ст.3.

Чугун: диаграмма не имеет линейного участка, строго говоря, не

подчиняется закону Гука.

Рис.3.16

Для определения условного Е проводят хорду на участке рабочих напряжений. Шейка не образуется. Разрушается с малыми остаточными деформациями.

По величине остаточных деформаций после разрушения, материалы делят на хрупкие (чугун, камень, бетон, кирпич и др.) и пластичные (сталь, медь, алюминий и т.д.). Это деление условно, т.к. один материал в разных условиях может разрушаться по-разному. Например, сталь в обычных условиях – пластичный материал, но при очень низких температурах разрушается как хрупкий материал. Поэтому точнее говорить о хрупком и пластичном виде разрушения.

в) Сравнения диаграмм растяжения и сжатия материалов.

σт

σт

Рис.3.17

48

Для испытания материалов на сжатие, образцы из них делают в виде кубиков или коротких цилиндров.

Ст.3: при сжатии имеет σпц , σ т , Е такие же, как и при растяжении. Но площадки текучести нет, есть наклонный участок при σ т . При больших –

σобразец сплющивается, приобретает вид бочонка из-за трения на торцах

оплощадки нагружающего устройства. Разрушение не получается (получается «лепешка»).

Чугун: диаграмма при сжатии (сж) похожа на диаграмму растяжения

(р), Ер ≈ Есж , но σврсж в несколько раз больше, чем σ врр , т.е. чугун хорошо работает на сжатие и плохо на растяжение. Чугун при сжатии немного

приобретает форму бочонка, а потом раскалывается по площадке ≈ 45o к его оси. Согласно (3.4) на этой площадке возникают максимальные касательные напряжения, следовательно, чугун при сжатии и разрушается от τ max . Бетон, камень деформируются при сжатии аналогично. У них

тоже σсжвр > σврр .

г) Наряду с упругостью и пластичностью к основным механическим характеристикам относится и ползучесть – развитие со временем

деформаций при постоянном напряжении. Зависимость εр – деформации

ползучести от Т – времени, можно представить графиком (рис. 3.18). На кривой ползучести различаются три участка: АВ – неустановившаяся ползучесть; ВС – установившаяся ползучесть; CD – стадия разупрочнения.

Скорость ползучести увеличивается с повышением температуры и уровня напряжений. Для каждого материала есть свои

сочетания σ (напряжения) и to (температура) при которых возникает ползучесть. Цель расчетов на ползучесть – определение времени эксплуатации конструкции до разрушения.

д) Влияние различных факторов на механические характеристики материалов.

1. Влияние скорости нагружения: при динамическом нагружении повышаются σпц , σ т , σ вр , площадка текучести уменьшается или исчезает,

разрушение происходит при меньших деформациях. Модуль Е не меняется.

2. Влияние температуры: с повышением to уменьшаются σпц , σ т , σ вр , характеристики пластичности увеличиваются, Е – уменьшается, μ (коэффициент Пуассона) увеличивается. Может появиться ползучесть.

49

Жаростойкость – способность материала сопротивляться окислению. Жаропрочность – способность материала сохранять высокие механические характеристики при высоких температурах.

3.Релаксация – постепенное падение напряжений при неизменной деформации материала (имеет место в болтовых соединениях – со временем «стяжка» соединения ослабевает, поэтому периодически болты надо «подтягивать»). Релаксация происходит при нормальной температуре.

4.Старение – самопроизвольное изменение механических характеристик со временем (прочность бетона увеличивается, прочность полимеров – уменьшается).

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

Всопротивлении материалов обычно решаются две задачи:

1.Определение размеров поперечных сечений стержней А при заданной нагрузке.

2.Определение допускаемой нагрузки [F] при заданных размерах сечения

А.

Обе задачи можно решать двумя основными методами:

1.расчет по допускаемым (расчетным) напряжениям (Д.Н);

2.расчет по разрушающим нагрузкам (Р.Н) (предельному состоянию).

Метод допускаемых напряжений (Д.Н.)

Обозначим [σ ] – допускаемое напряжение. Условие прочности имеет

Здесь σоп − опасное напряжение, n − коэффициент запаса прочности. Для хрупких материалов σ оп = σвр , n = 2,5÷5, для пластичных σоп = σ т ,

n = 1,5÷2,5. Рекомендации для выбора n приводятся в справочниках. Величины n зависят: а) от класса конструкции (капитальное, временное); б) характера нагрузки (статическая, динамическая и др.); в) возможной неоднородности строительных материалов (бетон); г) от вида деформации (растяжения, сжатия, изгиба, кручения).

Необходимость введения n обуславливается: а) разбросом опытных σ т и σ вр ; б) неточностью определения нагрузок (ветровой, снеговой и т.д.); в)

приближенностью методов расчета; г) неточностью изготовления деталей конструкций (допуски).

50