lecture_martyshev

В сложных случаях нагружения стержня целесообразно строить эпюру внутренних сил. Эпюрой продольной силы Nz называется график, каждая

ордината которого равна значению продольной силы в данном сечении. Этот график показывает изменение продольных сил по длине оси бруса. Для этого проводим базисную линию, параллельную оси стержня (рис. 3.1д), и перпендикулярно к ней отложим отрезки, изображающие в некотором масштабе величины продольных сил Nz в поперечных

сечениях бруса.

Очевидно, что на всем участке длиной l1 (между точками приложения сил F1 и F2 ) продольная сила постоянна и равна F1; аналогично и на

других участках (между сечениями, в которых приложены внешние силы), продольные силы имеют постоянное значение.

В поперечных сечениях, в которых к брусу приложены сосредоточенные продольные силы, значение продольной силы Nz

изменяется скачкообразно на величину продольной силы.

При действии на брус внешней распределенной осевой нагрузки qz = f (z) продольные силы Nz на участке, на котором такая нагрузка

приложена, изменяются непрерывно (рис. 3.2).

Природа внешней распределенной осевой нагрузки может быть различной. Обычно это собственный вес или инерционные силы.

Для решения этой задачи рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента, вырезанного двумя сечениями, расположенными друг от друга на расстоянии dS (рис. 3.2б). К нижнему сечению вырезанного

Рис.3.2 элемента приложим внутреннюю силу Nz ,а к верхнему – силу N z + dNz . Из условия равновесия этого элемента находим N z + qz dS − N z − dN z = 0 . Отсюда следует

т.е. величина нормальной силы в произвольном сечении равна сумме проекций на ось стержня всех внешних сил (интегралу), приложенных к отсеченной части.

На рис. 3.2 в показана эпюра Nz для бруса (рис. 3.2а) при qz = const . Все вышесказанные правила построения эпюр Nz можно свести к

простым практическим приемам. Для определения Nz в любом сечении

31

стержня (колонн), используем метод сечений и формулы (1.5) полученные в разделе 1.

правую отсеченную часть будем считать нижнюю от разреза часть, а за левую – верхнюю. Все внешние нагрузки, направленые вдоль оси z , считаем положительными. Построим эпюру Nz для колонны, показанной

на рис. 3.3.

Рис.3.3

Площадь верхней части колонны А, площадь поперечного сечения нижней части 2А. Oбозначим γ – объемный вес материала колонны. Тогда погонные нагрузки от веса будут q1 = γA, q2 = γ 2A . R – опорная реакция.

Для простоты вычислений свяжем силы F и нагрузки от веса формулой

γAa = F (В)

Найдем опорную реакцию R из условия равновесия всей колонны

Σz = 0.

−R + q2a + 2F + 2F + q12a − 3F = 0

Сучетом (В) найдем R = 5F .

Колонна имеет два участка.

I участок (верхний). Проведем в нем сечение на расстоянии S1 от верхнего торца колонны, 0 ≤ S1 ≤ 2a , т.е. рассмотрим верхнюю часть от

разреза, что как указано выше, надо в формулах (А) считать «левой» частью

32

Эпюра Nz1 линейна, т.к. S1 в первой степени. Для построения эпюры надо две точки:

Для построения эпюры достаточно двух точек

S2 = 0, Nz2 = −5F; S2 = a, Nz2 = −3F

Здесь и на I участке использована зависимость (В). Строим эпюру Nz2 . Верхний участок колонны растянут, а нижний сжат. Скачки Nz должны быть равны силам, приложенным к колонне в этих сечениях.

Напряжения и деформации при растяжении (сжатии). Закон Гука.

Продольная сила Nz , возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных

определить при помощи метода сечений. Однако из формулы (3.2) нельзя найти закон распределения нормальных напряжений σ z по площади

поперечного сечения.

Опыты показывают, что если нанести на поверхность бруса систему линий, перпендикулярных к его оси, то после нагружения стержня поперечные линии переместятся параллельно самим себе. Значит, если мысленно представить себе брус состоящим из тонких продольных призматических элементов (волокон), то все поверхностные элементы будут удлиняться одинаково. Естественно предположить, что и внутренние продольные элементы тоже удлиняются одинаково, т.е. поперечные сечения смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли).

Согласно этой гипотезе сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Так как одинаковым удлинениям в однородном материале соответствуют одинаковые напряжения, то напряжения в поперечных

33

сечениях всех призматических элементов (волокон), а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса, равны между собой. Это позволяет в (3.2) вынести величину σ z за знак интеграла. Тогда

Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

Напряжения в наклонных сечениях бруса

Рассечем растянутый стержень плоскостью n − n1, наклонной к поперечному сечению n − n2 под углом α (рис. 3.4а). Угол α условимся

считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Рис.3.4

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении (сжатии) N z = const одинаковы. Это позволяет

предполагать, что напряжения ρ во всех точках и наклонного сечения

одинаковы.

Площадь наклонного сечения стержня можно выразить через площадь поперечного сечения:

34

Разложим напряжение ρ на два составляющих напряжения:

Нормальное напряжение считается положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремиться вращать тело относительно любой т.С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 3.4в показано τα > 0 .

Из формул (3.4) видно, что в поперечных сечениях (α = 0, cos0 = 1,

касательные напряжения равны нулю. Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.

Из второй формулы (3.4) следует, что касательные напряжения

Определение деформаций

Опыт показывает, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокращаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются (рис. 3.5).

Рис.3.5

35

Изменение первоначальной длины стержня l называется

абсолютным удлинением.

Выделим (рис. 3.5) бесконечно малый элемент стержня длиной dz .

удлинения всех малых элементов одинаковы, т.е. ε z = const . Суммируя удлинения малых элементов по всей длине стержня получим

Здесь знак (–) поставлен потому, что при растяжении поперечные размеры уменьшаются. Для изотропных материалов поперечные деформации одинаковы: εa = εb = εп .

Деформации ε z и εп – безразмерные величины.

Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по

Коэффициент Пуассона есть величина постоянная только для данного материала в пределах упругих деформаций и определяется экспериментально. Для различных материалов коэффициент Пуассона имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,5 (для резины и парафина). Для стали μ = 0,25 − 0,30.

Чем больше величина силы, тем больше, при прочих равных условиях, удлинения бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно.

Для целого ряда материалов при нагрузках, не превышающих

где Е – коэффициент, зависящий от физических свойств материалов.

36

Коэффициент пропорциональности Е между напряжениями и деформациями называется продольным модулем упругости или модулем Юнга.

Размерность Е такая же, как и у напряжения. Из формулы (3.8) получим

Величина EA называется жесткостью бруса при осевой нагрузке. Впервые закон о прямой пропорциональности между напряжениями и

деформациями сформулировал Роберт Гук и этот закон носит его имя. Формулы (3.8) – (3.9) являются математическими выражениями

закона Гука при растяжении (сжатии) бруса.

Общая формулировка закона Гука: относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.

Для определения полного удлинения ступенчатого бруса и бруса, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются на участках с постоянными Nz и А и результаты суммируются алгебраически

по всем участкам

При продольной нагрузке, распределенной по длине бруса, а также в случае, когда площадь бруса переменна по длине его оси Az = f (z) , для

определения перемещения необходимо рассматривать брус, состоящий из бесконечного множества бесконечно малых участков длиной dS .

37

щение сечения a − a равно удлинению заштрихованной части.

Если требуется определить изменение расстояния между двумя сечениями: b − b и c − c (рис. 3.6б), то для этого необходимо определить изменение длины заштрихованных участков, лежащих между указанными сечениями.

Учет собственного веса бруса (колонны) qz Az

Рис.3.7

Рис.3.8

Вначале рассмотрим брус переменного сечения (рис. 3.7), для которого задан закон изменения площади поперечных сечений Az = f (z) .

Продольная сила в любом сечении c − c такого бруса Nz равна

38

Перемещение любого сечения c − c относительно заделки находиться

Здесь интеграл от 0 до l разбит на сумму двух интегралов по двум участкам, т.к. для каждого участка различны Nz и Az

Статически неопределимые задачи растяжения (сжатия)

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия от заданной нагрузки можно определить при помощи уравнений

39

равновесия, называется статически определимыми. В отличии от них статически неопределимыми называются системы, внутренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений равновесия. Недостающие уравнения составляются из условия деформации системы. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции). В статически неопределимых системах усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки – в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Наиболее важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений.

Проследим порядок решения таких задач на примерах:

I. Определить усилия в призматическом стержне, заделанным двумя концами, от одной внешней продольной силы F (рис. 3.9). Отбросим одну из заделок и заменим ее действие неизвестной реакцией RB (рис. 3.9б). В данном

случае можно составить только одно уравнение равновесия:

Σz = 0. F − RA − RB = 0.

В этом уравнении два неизвестных усилия RA и RB . Задача является

один раз статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение деформации из условия, что общая длина

Решаем уравнения а) и с), учитывая, что l = a + b , получим

40