lecture_martyshev

τ xy , τ yz , τ zx и деформации εx , ε y , εz , γ xy , γ yz , γ zx . В этом случае используют принцип сложения

W = 12 (σ xε x + σ yε y +σ zε z ) + 12 ( τ xyγ xy +τ yzγ yz +τ zxγ zx )

Подставляя сюда деформации по обобщенному закону Гука (13.1) получим

W = 21E (σ x2 +σ 2y +σ z2 - μ(σ xσ y +σ xσ z +σ yσ x +σ yσ z +

+σ zσ x +σ zσ y )) + 21G ( τ xy2 +τ 2yz +τ xz2 )

или

W = 21E (σ x2 + σ 2y +σ z2 - 2μ(σ xσ y +σ yσ z +σ zσ x )) +

(13.4)

+ 21G ( τ xy2 +τ 2yz +τ xz2 )

Для элемента тела, вырезанного по главным площадкам, полагая σ x = σ1,

III. Энергия изменения формы

Ее найдем как разность из (3)

Wф = W −W0

Подставим сюда (13.4) и (13.6), найдем

161

Теории прочности

Наиболее важным этапом расчета конструкции является выполнение условий прочности конструкции.

Введем обозначения: НДС – напряженно-деформированное состояние; σ0 − опасное напряжение; σ0 = σ т − предел текучести для пластичных

материалов; σ0 = σвр − предел прочности для хрупких материалов;

[s]p = s0p / np -допускаемые напряжения при растяжении;

[s]сж = sсж0 / nсж - допускаемые напряжения при сжатии; np и nсж −

коэффициенты запаса прочности. Для пластичных материалов [σ ]p =|[σ ]сж |= [σ ], для хрупких материалов |[σ ]сж |>> [σ ]p .

Для одноосного НДС (растяжение или сжатие) условие прочности имеет вид [σ ]сж ≤ σ max ≤ [σ ]p .

Вбольшинстве конструкций возникает сложное НДС,

характеризуемое главными напряжениями σ1, σ 2, σ3 и главными деформациями ε1, ε2, ε3 (см. раздел 12). При этом возможны различные сочетания их величин и знаков. В каждом конкретном случае оценить

162

прочность конструкции – очень сложная задача. Поэтому, на практике, приходится использовать здесь результаты опытов при одноосном НДС, вводя различные гипотезы о причине разрушения материала.

Установить единую причину разрушения разных материалов при различных НДС пока не удалось. Поэтому появилось несколько теорий прочности.

I теория прочности

Основана на гипотезе: независимо от вида НДС причиной разрушения материала является наибольшее нормальное напряжение. Для безопасного состояния должно быть выполнено условие

[σ ]сж ≤ σ max ≤ [σ ]p

В общем случае, когда σ1, σ2 и σ3 имеют разные величины и знаки,

условия прочности надо записать так

[σ ]сж ≤ σ1 ≤ [σ ]p, [σ ]сж ≤ σ 2 ≤ [σ ]p, [σ ]сж ≤ σ3 ≤ [σ ]p

Недостаток этой теории в том, что не учитывается влияние двух других главных напряжений (каждое отдельно).

Известно, что хрупкие материалы хорошо работают на сжатие и плохо на растяжение. Практика показала, что эта теория прочности применима для хрупких материалов, когда наибольшим из σ1, σ2 и σ3 является

растягивающее напряжение.

При плоском напряженом состоянии (ПНС) в материале возникают

Условие прочности при ПНС записываются так для хрупких материалов в общем случае

Сейчас эта теория не применяется и имеет лишь историческое значение.

II теория прочности

Основана на гипотезе: независимо от вида НДС причиной разрушения материала является наибольшая растягивающая деформация. В объемном НДС в теле возникают три главных деформации ε1, ε2, ε3 (см. раздел12),

которые через главные напряжения можно определить по Обобщенному закону Гука (13.1). Например

163

Эта теория справедлива и для одноосного НДС, для которого допускаемая деформация [ε ] может быть найдена по простому закону Гука

Эта теория прочности более совершенна, чем первая, т.к. учитывает все главные напряжения и тоже рекомендуется для оценки прочности хрупких материалов, когда разрушение происходит путем отрыва.

III теория прочности

Основана на гипотезе: независимо от вида НДС причиной разрушения материала являются наибольшие касательные напряжения.

Экспериментально установлено, что со сдвигами связаны пластические деформации, поэтому эта теория прочности применима для пластичных материалов, для которых [σ ]p =|[σ ]сж |= [σ ].

Для одноосного НДС касательные напряжения на наклонной

164

Условие прочности в общем случае нагружения тела по этой теории можно записать так с учетом (Д) и (Г)

(σ x − σ y )2 + 4τ xy2 ≤ [σ ]

Недостаток этой теории в том, что в случае объемного НДС учитывается только по два главных напряжения.

Эта теория лучше всего подтверждается опытами с пластичными материалами, для которых и рекомендуется.

IV теория прочности

Основана на гипотезе: независимо от вида НДС предельное состояние материала наступает в точке тела, где удельная потенциальная энергия изменения формы тела Wф достигает опасной величины. Как показали

эксперименты, этот критерий справедлив для пластичных материалов, т.к. изменение формы тела связано со сдвигами, характерными для пластичных материалов.

Этот критерий прочности справедлив и для одноосного НДС, когда σ1 ¹ 0 , σ2 = σ3 = 0 и Wф в этом случае будет

С учетом (Е) и (С) условие прочности для объемного НДС по этой теории можно записать так

Окончательно

165

Эта теория прочности называется еще энергетической.

Итак, III и IV теории прочности применяются для пластичных материалов, для которых за опасное состояния принимаются возникновение пластических деформаций. Поэтому эти теории прочности называют условиями пластичности.

V теории прочности (Мора)

Эта теория прочности является достаточно универсальной, т.к. может применяется как к хрупким материалам с разными пределами прочности

[σ ]p =|[σ ]сж |= [σ ], то из (13.19) следует σ1 −σ3 ≤ [σ ]. А это, как указано выше, есть условие прочности по III теории.

166

РАЗДЕЛ 14 СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ И РАМЫ

Метод сил

Основные понятия

Плоские шарнирно-стержневые конструкции, в которых все стержни работают на растяжение или сжатие называется фермами (рис.14.1 – 14.2). Такие конструкции используются в пролетах мостов, в башенных кранах, в различных перекрытиях и т.д.

Если стержни в ферме соединены сваркой, но имеют большую длину и малую изгибную жесткость, то их приближенно можно считать работающими только на осевые нагрузки. В фермах верхние горизонтальные стержни называют верхний пояс, нижние горизонтальные нижний пояс, наклонные стержни раскосы, вертикальные стойки. Нагрузки считаются приложенными в узлах. Погонные распределенные нагрузки q приводятся к силам в узлах (рис. 14.2).

Если элементы стержневой конструкции достаточно короткие и имеют большие размеры поперечных сечений, т.е. большую изгибную жесткость EJ, то такие стержни в основном работают на изгиб и конструкция называется

рамой (рис. 14.3, 14.4).

Здесь стержни в узлах соединены жестко (сваркой). В рамах силы F и нагрузки q могут быть произвольно приложены, q не надо приводить к узлам.

i =1 ,2,3,4.

Рис. 14.3. Рис. 14.4.

167

Здесь: R – число опорных связей; С – число стержней в ферме; Ш – число шарниров.

Если W = 0 ферма неизменяема и статически определима.

Если W < 0 ферма геометрически изменяема (механизм), не пригодна к эксплуатации.

Если W > 0 ферма статически неопределима и неизменяема. W = n раз статически неопределима. Рис.14.1: R = 3, C = 9, Ш = 6 по (14.1) W = 3 + 9 – 2 x 6 = 0, ферма статически определима, но мгновенно геометрически изменяема, т.к. все опорные связи пересекаются в т.А. и возможен малый поворот фермы относительно т.А. Такую ферму эксплуатировать нельзя. Если верхнюю опору сделать горизонтальной, ферма станет геометрически неизменяемой и пригодной к эксплуатации.

Итак: в ферме все опорные связи не должны пересекаться в одной точке.

Рис.14.2: R = 3, C = 7, Ш = 5, W = 3 + 7 – 2 x 5 = 0, ферма статически определима и геометрически неизменяема.

где: R – общее число опорных связей; К – число замкнутых контуров.

Рис. 14.3: R = 7, K = 1, W = 7 – 3 + 3 x 1 = 7 раз статически неопределима.

Рис. 14.4: R = 3, K = 0, W = 3 – 3 + 3 x 0 = 0, рама статически определима.

Статическая неопределимость бывает трех типов:

1). Наружной (внешней), определяется SH = R − 3, т.е. если число опорных связей больше трех;

2). Внутренней, определяется SB = W - SH 3). Смешанной, если SH ≠ 0 и SB ≠ 0.

Рис. 14.3: SH = 7 – 3 = 4 раза внешне статически неопределима;

SB = 7 – 4 = 3 раза внутренне статически неопределима, т.е. это смешанный тип статической неопределимости.

Определение внутренних продольных сил в сечениях стержней статически определимых ферм

168

Рис.14.5.

Как указано выше, в фермах стержни работают на растяжение или сжатие, т.е. в них возникают продольные силы Nij , которые определяются

методом сечений: стержень мысленно разрезается в произвольном месте, получим две его части, прикрепленные к соседним узлам. В каждой его части показываем в сечении растягивающее усилие Nij . Например, разрежем

стержень А-2 (см. рис. 14.5).

N2A

К левой его части, соединенной с опорой А, приложим растягивающее усилие NA2, а к правой части, соединенной в узле 2, растягивающее усилие N2A. Очевидно, что NA2 = N2A. Аналогично, вводим усилия Nij во всех

стержнях фермы.

Расчет фермы начинают с определения всех опорных реакций из обычных уравнений равновесия для всей фермы. Усилия Nij в стержнях

фермы можно определять двумя способами: 1. Метод вырезания узлов:

Обычно используется, когда в узле (шарнире)сходятся два стержня с неизвестными усилиями Nij . Например, вырежем узел А на рис. 14.5. Здесь

сходятся два стержня А-1 и А-2. Как показано выше, усилия в них обозначим NА1 и NА2 (растягивающие). Для их определения можно составить два уравнения равновесия узла А: ∑Z=0 и ∑Y=0 (направления осей Y и Z показаны на рис. 14.5). При этом надо учитывать реакции RА и НА в опоре А и знать все углы между стержнями. Если из расчета получим Nij > 0, то этот

стержень растянут, а если Nij < 0, то сжат. Далее можно вырезать узел 1.

Здесь неизвестны усилия N12 и N13 (растягивающие), а N1A = NA1 – уже известно. Составим для узла 1 уравнения статики:

∑z = 0, ∑ y = 0 (учесть силу F в узле 1) и из них найдем N13 и N12. Далее можно вырезать узел 2, где неизвестны N23 и N24, а N21 = N12, N2A = NA2 – уже

169

известны. В уравнениях ∑ y = 0 и ∑ z = 0 учесть силу F в узле 2. Потом последовательно вырезаем другие узлы и находим Nij в остальных стержнях.

Если ферма и нагрузки на ней имеют симметрию (как на рис. 14.5), то ее надо

использовать. Из рис. 14.5 получим: NB5 = NA1, NB4 = NA2, N45 = N21, N53 = N13,

N43 = N23.

2. Метод разрезов (сечений)

Ферму мысленно разрезают на две части сечением так, чтобы перерезанными были три стержня. Рассматривают равновесие одной части фермы, в перерезанных стержнях этой части показывают растягивающие усилия Nij . Составляют три уравнения равновесия для рассматриваемой

части фермы. Моментные уравнения (для простоты вычислений) надо составить относительно тех точек, где сходятся два неизвестных усилия Nij и

проще определить плечи у сил Nij . Из этих трех уравнений и определяются три усилия Nij . Например, ферму на рис. 14.5 разрежем сечением С-С и

рассмотрим равновесие ее правой части. Неизвестные усилия в стержнях: N31, N32, N42 (растягивающие) показаны на рис. 14.5. В узле 3 сходятся усилия N31 и N32, поэтому составим моментное уравнение равновесие правой части фермы относительно узла 3: ∑mom3=0. Здесь плечо для усилия N42 определяется легко, обязательно учесть силы F в узлах 3,4,5 и реакцию RB в узле В. Из этого уравнения вычисляется N42. Далее лучше составить уравнения ∑z = 0 и ∑ y = 0 для всей правой части фермы с нагрузками на нее, из которых находятся усилия N31 и N32. Далее можно сделать разрез К-К, здесь неизвестными будут N53, N54, NB4 и рассмотреть равновесие правой части фермы. Моментное уравнение равновесия лучше составить относительно узла 5, из которого найдется NB4. Потом можно составить для правой части фермы ∑y = 0 и ∑z = 0, из которых определяется N54 и N53. Во всех уравнениях равновесия надо учитывать силу F в узле 5 и реакцию RB в узле В.

В остальных стержнях усилия Nij можно найти методом вырезания

узлов, т.е. в одной задаче можно использовать оба метода. Желательно использовать симметрию задачи (если она имеет место).

Определение внутренних силовых факторов (ВСФ) в статически определимых рамах.

В отличии от фермы, в стержнях рамы могут возникать: Ni – продольные силы, Qi – поперечные силы, Mi – изгибающие моменты.

Сначала, из обычных уравнений равновесия всей рамы, определяют все три реакции. Если ввести для плоской рамы скользящую систему координат yi zi

(как на рис. 14.4), причем оси zi на каждом участке направлять вдоль оси

стержня, то в стержнях рамы ВСФ можно обозначить так:

Ni = N zi , Qi = Qyi, Mi = M xi . Далее, как показано в разделе 5 для балок, методом сечений с использованием формул (5.2) и (5.3) для каждого i-го

170