lecture_martyshev

При ударе всегда D > Dcт , поэтому выбираем знак (+) и формулу (10) преобразуем так

Определяется известным методом Клебша из раздела «Плоский изгиб балок».

Здесь: T0 = P × h - энергия падающего груза в момент начала удара;

131

Ucт = 12 P × Dcт - потенциальная энергия деформации бруса от статического

нагружения его силой P в т. K. С учетом (12) из (9.8) найдем

напряжения при ударе. Так появилась идея ставить в конструкциях, испытывающих ударные нагрузки, различные амортизаторы, рессоры, пружины и поясняется поговорка «знал бы, где упаду, подстелил бы солому».

максимальное напряжение в балке от удара, максимальные прогибы в пролете и консоли.

В т. K балки статически при-

кладываем силу P , равную весу груза (рис.б). Определяем от нее опорные реакции и строим эпюру M x− изгибающих моментов. Из Эп. M x находим

M xmax и, зная размеры и форму поперечного сечения балки, вычисляем

нагружения. Для вычислений по (9.6) надо знать Kд .

Для балки б) со статической силой P для двух участков запишем дифференциальные уравнения изгиба EJ xV ′′ = −M x по методу Клебша,

интегрируем их и из условий закрепления балки находим константы интегрирования. Строим график прогибов балки, приблизительный вид которого показан на рис.б. Находим Vк − прогиб балки в сечении «K», это

и есть cт = Vк . По (9.8) вычисляем Kд и далее

σдmax =σстmax × Kд

Вконсоли максимальный прогиб при ударе Vдmaxконс = Vк × Kд .

Впролете находим VD − максимальный прогиб от статического

нагружения и далее максимальный прогиб при ударе Vдmaxпролета =VD × Kд .

Дальше можно проверить балку на прочность и жесткость обычными методами.

Существует термин «падение с высоты h = 0 ». Из (9.8) в этом случае получим Kд = 2 . Чтобы этого не было, груз надо опускать плавно не

только до соприкосновения с конструкцией, но и дальше, при

132

перемещении груза вместе с деформируемой конструкцией до полной их остановки.

Учет массы ударяемого тела (бруса)

Учет массы ударяемого тела достаточно сложен, поэтому приведем окончательные формулы без вывода их.

Динамический коэффициент в этом случае определяется по формулам,

аналогичным (9.8)-(9.10)

Вычислив β , определяем коэффициент α и далее Kд .

Пример 1. Вычислить β для колонны, показанной на рис. 9.1а. По закону

Пример 2. Вычислить β для балки, показанной на рис. 9.1б, когда груз P падает на середину балки.

Опорные реакции R = P / 2 , дифференциальные уравнения изгиба балки от статического нагружения силой P :

EJxV ¢¢ = -Rz, EJxV¢ = -Rz2 / 2 + C, EJxV = -Rz3 / 6 + C × z + D, 0 £ z £ l / 2 ,

т.е. ввиду симметрии ограничимся одним участком.

Граничные условия: 1) z = 0, V = 0 ; 2) z = l / 2, V ′ = 0 (ввиду симметрии),

Все полученные выше формулы приближенные. Чем большей жесткостью обладает ударяемый брус, тем менее точными будут результаты расчетов. Более точные результаты получаются при рассмотрении волновой теории удара.

133

сооружений (в них ставят специальные гасители колебаний) и др. В уставе армии есть пункт – в начале движения солдат по любому мосту должна следовать команда «сбить шаг». В истории известен случай, когда частота шагов солдат на мосту оказалась близка к собственной частоте колебаний моста, он вошел в резонанс и разрушился.

Внешние знакопеременные нагрузки могут передаваться на конструкции от различных механизмов, станков и т.д., установленных на них. Конструкции, на которых они установлены, должны иметь собственные частоты колебаний далекие от частот внешних воздействий. Резонанс в большинстве конструкций нельзя допускать, это может привести к их разрушению.

Многочисленные опыты показали, что при действии переменных напряжений, возникающих при колебаниях конструкций, разрушение происходит при напряжениях значительно меньших, чем опасные напряжения при однократном статическом нагружении. Причиной разрушения материала при колебаниях является постепенное развитие микротрещин, которые всегда есть в материале. Это явление называется усталостью материала. Способность материала воспринимать многократное действие переменных напряжений называют выносливостью, а проверку прочности элементов конструкций при действии таких напряжений – расчетом на выносливость (или расчетом на усталостную прочность).

Для расчетов на выносливость используют кривые усталости или кривые Вёлера, которые экспериментально получаются для каждого

пределом выносливости. Это напряжение, при котором не происходит усталостного разрушения данного материала после произвольно большого

числа циклов (обычно берут N = 107 циклов).

С помощью кривых Вёлера определяют срок службы элементов конструкций при действии переменных напряжений, возникающих при колебаниях.

На величину предела выносливости влияют многие факторы: Концентрация напряжений. Она возникает в точках тела вблизи мест

приложения сосредоточенных сил, около выточек, у краев отверстий, в

135

местах резкого изменения формы тела, у надрезов и т.д. Концентрация значительно снижает предел выносливости.

Качество поверхности детали. Снижение предела выносливости тем больше, чем грубее поверхностная обработка детали, причем это снижение более значительно для материалов с высокими пределами прочности.

Абсолютные размеры детали. С увеличением размеров предел выносливости уменьшается. Объясняют это тем, что в больших деталях с большим объемом материала больше дефектных мест (раковины, микротрещины, неметаллические включения, следы от обработки поверхности).

Внешняя среда. Коррозионная среда (вода, соленая вода, кислоты, пары и т.д.) резко снижают усталостную прочность. Желательно использовать защитные покрытия поверхностей (окраска, цинкование, азотирование и т.д.)

136

РАЗДЕЛ 10 БАЛКА НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

В инженерной практике встречаются балки, лежащие на сплошном упругом основании. Это ленточные фундаменты зданий, фундаменты плотин, ж/д шпалы и др. Расчет таких балок осложняется

Рис.10.1 тем, что реакция оснований « r » зависит от прогибов «V » балки, а прогибы зависят от реакции основания. Для решения задачи необходимо знать закон, связывающий реакцию основания с осадкой (прогибом) основания. Наиболее распространенной является гипотеза Винклера

погонная нагрузка, действующая на балку.

Для решения задачи используем известное дифференциальное уравнение изогнутой оси бруса

Это дифференциальное уравнение балки на упругом основании.

137

I. Бесконечно-длинная балка, загруженная локальной силой

Задача симметрична относительно силы F , поэтому рассмотрим лишь ее правую половину. Начало координат

3. Правило проверки эпюр Qy гласит: при движении вдоль эпюры Qy

справа – налево скачки на эпюре должны равняться по величине и по направлению локальным силам, приложенным в этих сечениях балки. В нашем случае Эп. Qy в окрестности силы F с учетом симметрии задачи

должна иметь вид (рис. 10.3):

Отсюда при z = 0 Qy = −F / 2 . Подставим это в (5), получим

138

По формулам (10.4)-(10.6) можно построить эпюры, примерный вид которых показан ниже.

Обозначим l0 = π /α - длина полуволны. Расчеты показали, что при z = 2l0

V ≈ 0,2% от прогиба под силой F (Vmax ) , при z = l0 V ≈ 4% от Vmax . Поэтому, полученными формулами можно пользоваться и для балок конечной длины, если их длина l ³ 4l0 и даже при l ³ 2l0 . Для более

коротких балок ошибки будут значительны.

139

II. Полубесконечная балка на упругом основании

Балка загружена при z = 0 Q0

положительные их направления на левом торце балки показаны на рис. 10.5.

140