lecture_martyshev

РАЗДЕЛ 2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Площадь является простейшей геометрической характеристикой поперечного сечения. На практике легко убедиться, что сопротивление прямых стержней при растяжении (сжатии) пропорционально площади поперечного сечения.

При расчетах же на изгиб, кручение, сложное сопротивление, при расчетах на устойчивость используются более сложные геометрические характеристики сечений. Знание только площади поперечного сечения стержня при этих видах деформации недостаточно. В этом нетрудно убедиться на практике. На рис. 2.1 видно, что при одной и той же площади в зависимости от ориентировки поперечного сечения, стержень по разному сопротивляется действию одной и той же поперечной силы (f2 > f1).

Рис. 2.2

21

Поэтому

Из выражения (2.3) видно, что статические моменты фигуры относительно осей, проходящих через центр тяжести этой фигуры, равны нулю. Оси координат, проходящие через центр тяжести фигуры называются центральными осями.

Осевым (или экваториальным) моментом инерции сечения

относительно некоторой оси называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний от этой оси, т.е.

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний от этой точки, т.е.

некоторых двух взаимно перпендикулярных осей называется взятая по всей его площади А сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния от этих осей, т.е.

22

Центробежный момент инерции берется относительно двух осей. Он может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Случай, когда центробежный момент инерции равен нулю, заслуживает особого изучения и будет рассмотрен ниже.

Замечание: Нельзя суммировать моменты инерции, вычисленные относительно различных осей и точек.

Зависимость между моментами инерции относительно параллельных осей

аналогично J y1 = J y + 2bS y + b2 A .

23

Для центробежного момента инерции имеем

J x1y1 = òò y1x1dA = òò(y + a)(x + b)dA = òò xydA + abòò dA + aòò xdA +

A A A A A

+ bòò ydA = J xy + ab × A + aSy + bSx.

моментов инерции относительно осей, параллельных центральным, примут вид:

Формулы (2.9) часто применяют для вычисления моментов инерции сложных фигур.

Складывая первые два выражения равенств (2.9) и учитывая, что Jρ1 = J x1 + J y1 , получим формулу для полярного момента инерции

J ρ1 = J ρ + (a2 + b2 )A

Если заданными являются моменты инерции относительно произвольных осей, то для центральных осей, параллельных данным осям,

J xy = J x1y1 - abA

Из этих формул видно, что моменты инерции относительно центральных осей имеют наименьшие значения по сравнению с моментами инерции относительно любых других параллельных осей.

Зависимость между моментами инерции при повороте осей

24

новых осях через координаты в старых осях, угол α > 0 при повороте осей против часовой стрелки:

u= OE + EC = OE + BD = x ×cosa + y ×sina;

v= KD - DC = KD - BE = y ×cosa - x ×sina.

Найдем момент инерции относительно оси Ou :

Ju = òòv2dA = òò( y ×cosα - x ×sinα)2 dA =

AA

=cos2 α òò y2dA + sin2 α òò x2dA - 2cosα ×sin α òò x × y × dA.

AA

=sin α cosα òò y2dA − sinα cosα òòx2dA + (cos2 α − sin 2 α )òòxydA

Сложим выражения (2.11) и (2.11а), получим

Ju + Jv = Jx + J y

Сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и х не меняются при их повороте. Это показано и соотношением (2.8).

Главные оси инерции и главные моменты инерции

В предыдущем разделе было показано, что величины моментов инерции меняются при повороте осей. Можно найти такое значение угла α = α0 , при котором момент инерции достигает экстремального значения.

Для определения экстремума приравняем нулю первую производную от (2.11) и положим α = α0 :

dJu = -2J x cosα0 sinα0 + 2J y sinα0 cosα0 - 2J xy cos 2α0 = 0 dα

или

(Jx − J y )sin 2α0 + 2Jxy cos 2α0 = 0

25

откуда

Полученная формула дает для угла α0 два значения, отличающиеся на

90°. Следовательно, существует две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых моменты инерции имеют экстремальные значения. Такие оси называют главными осями инерции, их будем обозначать x0 и

y0 , а моменты относительно этих осей – главные моменты инерции.

При положительном значении угла α0, для определения по нему положения одной из главных осей инерции, ось х следует повернуть на угол α0 против вращения часовой стрелки.

из осей (х или у), относительно которой осевой момент инерции имеет большее значение (рис. 2.7).

Для отыскания главных моментов инерции есть два способа.

I способ: По формулам из тригонометрии используя выражения (2.11)

II способ: Вычислим по (2.13) угол α0 и с учетом его знака проводим главные оси ОХ0 и ОY0. В формулы (2.11) и (2.11а) подставляем α = α0 и вычисляем Ju = J x0 и Jv = J y0 . По числовым значениям J x0 и J y0 сразу видно, какая ось максимум, а какая минимум. Полученные так J x0 и J y0 численно равны Jmax и Jmin , определяемым по формуле (2.14).

Интересно отметить, что центробежный момент инерции относительно главных осей инерции равен нулю. Для этого в формулу

Условие равенства нулю центробежного момента инерции часто используют для определения положения главных осей инерции – если одна

26

из осей фигуры совпадает с осью симметрии этой фигуры, то эти оси будут главные, т.к. центробежный момент относительно таких осей равен нулю.

Таким образом, для симметричных фигур главные оси устанавливаются без вычислений.

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются

главными центральными осями.

Эллипс инерции

Введем новую геометрическую характеристику, которую назовем

радиусом инерции.

Предположим, что для какой-либо фигуры оси Ox0 и Oy0 являются

главными центральными осями. Запишем выражение момента инерции относительно оси OU , наклонной к оси Ox0 на угол α . На основании

Сравнивая полученную зависимость с выражением (2.16) видим, что величина h численно равна радиусу инерции относительно наклонной оси OU . Установленное свойство эллипса инерции позволяет графически определить момент инерции относительно любой оси, проходящей через начало координат. Для этого достаточно провести касательную к эллипсу параллельно этой оси и замерить кратчайшее расстояние между

27

касательной и осью. Это расстояние h будет равно радиусу инерции для рассматриваемой оси. Момент инерции определяется так:

Ju = h2 × A

Вычисление моментов инерции простых фигур

1. Прямоугольное сечение

J x0 y0 = 0 , т.к. оси Ox0 y0 – главные центральные оси, Ox0 и Oy0 – оси

симметрии сечения

2. Равнобедренный треугольник

28

главные моменты инерции относительно осей Ox0 и Oy0

4. Круглое сечение

29

РАЗДЕЛ 3. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ)

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила Nz .

Растяжение (сжатие) часто встречается в элементах строительных конструкций и машин. Например, растяжение возникает в тросе подъемника, сжатие – в фабричной трубе от собственного веса, в колоннах и т.д.

Для центрального растяжения (сжатия) внешние силы, приложенные к концевым или промежуточным сечениям стержня, должны быть направлены по его оси или приводиться к равнодействующей, направленной по этой оси (рис. 3.1а).

Для определения продольных сил применяется метод сечений. При этом стержень мысленно рассекается плоскостью, перпендикулярной оси стержня, на две части. Взаимодействие частей между собой заменяется продольной силой Nz и из условия равновесия (Σz = 0) отсеченной части

определяется значение этой силы (рис. 3.1 б-г).

Рис.3.1

Условимся силу Nz считать положительной, если она вызывает

растяжение (направлена от сечения) и отрицательной, если вызывает сжатие (направлена к сечению). В тех случаях, когда направление силы Nz

неизвестно, целесообразно принять ее положительной. Если из условия равновесия сила Nz получиться со знаком (+), то стержень в данном

сечении растянут, если со знаком (–), то – сжат.

30