учебник , электродинамика

В системе единиц СИ работа и мощность электрического тока измеряются соответственно в джоулях и ваттах. Однако на практике часто используется внесистемная единица работы 1 кВт ч, т.е. работа тока мощностью 1 кВт за время 1 ч (1 кВт ч = 103Вт 3600 с = 3,6 106 Дж).

Электроны, движущиеся в металле под действием электрического поля, как уже отмечалось, непрерывно сталкиваются с ионами кристаллической решётки, передавая им свою кинетическую энергию упорядоченного движения. Это приводит к увеличению внутренней энергии металла, т.е. к его нагреванию. Согласно закону сохранения энергии, вся работа тока A идёт на выделение количества теплоты Q, т.е. Q = A. Используя (21.2), находим

Соотношение (21.5) называют законом Джоуля − Ленца.

§22. ПРАВИЛА КИРХГОФА

При разработке электрических и радиотехнических схем приходится сталкиваться с очень сложными разветвлёнными электрическими цепями, и при этом необходимо знать, какие токи будут протекать в той или иной цепи. Для расчёта сил токов в различных участках таких цепей обычно составляется система линейных уравнений, в которые в качестве неизвестных входят силы токов в различных участках цепи. Решая такую систему, находят силы токов. Основой для составления уравнений являются правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в

43

стоянным. Поэтому должно выполняться первоеправило Кирхгофа. Необходимоотметить, чточисло уравнений, котороеможно составитьдляузлов, наединицу меньшеобщего числа узлов в разветвлённой цепи. Так, например, в электрической цепи, приведённой на рис. 89.1, всего два узла — A и B . Поэтому можно составить только одно уравнение для узла A или B. Число неизвестных токов всегда больше числа уравнений, составленныхдляузлов. Всилуэтогодляопределениявсехнеизвестныхвеличиннеобходимо составить дополнительные уравнения, используя второе правило Кирхгофа (правилодляконтуров).

Второе правило Кирхгофа. Алгебраическая сумма напряжений (произведений сил токов на сопротивления) в ветвях любого замкнутого контура равна алгебраической сумме э.д.с., встречающихся в этом контуре, т.е.

Необходимо отметить, что сопротивления Rk включают в себя и внутренние сопротивленияисточниковтока. Так, замкнутымявляетсяконтурABε3A (см. (рис. 22.1)).

Второе правило Кирхгофа является следствием закона сохранения и превращения энергии. При применении этого правила выбирается какое-нибудь направление обхода, например, почасовойстрелкеиуславливаютсяоправилезнаков:

а) если токи Ik текут в направлении обхода, то соответствующие произведения IkRk берутся со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус;

б) если в направлении обхода внутри источника происходит переход от отрицательного полюса к положительному, то э.д.с. берётся со знаком плюс, в противном случае с минусом. Например, для замкнутого контура ABε3 A

уравнение записывается в виде –I2(R2 + r2) + I3(R3+ r3) = ε3 –ε2.

Если после решения системы уравнений силы токов в каких-либо участках получаются отрицательными, то это означает, что в действительности направление этих токов противоположно направлению, выбранному при расчёте. Следует отметить, что число уравнений, которое возможно для контуров, на единицу меньше общего числа замкнутых контуров разветвлённой цепи. Так, в электрической схеме, показанной на рис. 22.1, число возможных замкнутых контуров три — Aε1Bε3A, Aε1Bε2A и ABε3A. Следовательно, можно составить

лишь два уравнения для любых указанных контуров. При этом надо составить столько уравнений для замкнутых контуров, чтобы в сумме с числом уравнений для узлов оно равнялось бы числу неизвестных токов, которые и нужно определить. Например, для указанной цепи (рис. 22.1) составляют одно уравнение для узла А и два для замкнутых контуров АВε3А и Аε1ВА:

44

Зная величины сопротивлений и э.д.с., находят силы токов, решив эту систему уравнений.

Отметим, что можно выбрать и другие два из трёх указанных замкнутых контуров, как и другой узел (В). Результат по расчёту сил токов и напряжений от этого не изменится.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Электрическим током называют любое упорядоченное движение зарядов. За направление тока принимают направление движения положительных

зарядов. Электрический ток характеризуется силой тока: I = dqdt , где dq — ве-

личина заряда, протекшего через поперечное сечение проводника, за элементарный промежуток времени dt, т.е. сила тока равна заряду, прошедшему по проводнику за единицу времени. Распределение силы тока по поперечному се-

чению проводника характеризуют плотностью тока j, равной: j = dSdI , где dI —

сила тока, проходящего через элементарную площадку dS, перпендикулярную к направлению движения зарядов, т.е. плотность тока равна силе тока, приходящейся на единицу площади.

2. Применяя электронную теорию, можно вывести закон Ома для однородного участка цепи, т.е. цепи, не содержащей э.д.с. Этот закон имеет вид I = U/R. Здесь U — напряжение (разность потенциалов) на концах проводника, R — сопротив-

ление проводника. С точки зрения электронной теории удельное сопротивление

проводников находится по формуле: ρ = 2m < u > , где m и e — масса и заряд ne2 < λ >

электрона, <u> — средняя скорость теплового движения электронов, n — концентрация электронов проводимости, <λ> — средняя длина свободного пробега электронов. Из этой формулы видно, что при неизменной температуре удельное сопротивление проводников возрастает с уменьшением средней длины свободного пробега электронов, т.е. с возрастанием числа столкновений электронов с ионами кристаллической решётки.

3.Работой выхода электрона называют энергию, которую надо сообщить электронудляеговырыванияизвещества.

4.Источниками тока называют устройства, производящие разделение разноимённых зарядов и создающие в электрической цепи ток. Источники тока

характеризуются электродвижущей силой (э.д.с.), равной работе сторонних сил по переносу единичного заряда по цепи, т.е. ε = Aстор /q, где Aстор — работа

сторонних сил при перемещении заряда q по цепи.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте понятия электрического тока, силы тока и плотности тока.

45

2.Выведите связь силы и плотности тока со средней скоростью упорядоченного движения электронов проводимости в металле.

3.Выведите закон Ома для однородного участка цепи на основе электронной теории металлов.

4.В чём заключается явление сверхпроводимости?

5.Дайте понятие работы выхода электрона.

6.В чём состоят явления Зеебека и Пельтье?

7.Дайте понятие электродвижущей силы.

8.Какова связь э.д.с. с напряжённостью сторонних сил?

9.Сформулируйте правила Кирхгофа.

ЗАДАЧИ

2.1.Сила тока в проводнике изменяется со временем по закону I = 2+0,1 t+0,3 t2 (A). Найти заряд, протекающий через поперечное сечение проводника за 2 с.

2.2.Через проводник сопротивлением 10 Ом течёт ток, сила которого изменяется со временем I = 3 + 0,2 t + 0,6 t2, A. Найтиколичествотеплоты, выделяющеесявпроводникеза3 с.

2.3.Катушка из медной проволоки имеет сопротивление 10,8 Ом. Масса проволоки 3,4 кг. Какой

длины и какого диаметра проволока, намотанная на катушку? Плотность меди 8,6·103 кг/м3, удельноесопротивление1,7·10−8 Ом·м.

2.4.Медная и алюминиевая проволоки имеют одинаковую длину и одинаковое сопротивление. Во сколько раз медная проволока тяжелее алюминиевой? Плотность меди 8,6·103 кг/м3, её удельное сопротивление 1,7·10–8 Ом·м, плотность алюминия 2,7·103 кг/м3, её удельное сопротивление 2,5·10–8 Ом·м.

2.5. Э.д.с. элементов ε1 = 2,1 B и ε2 = 1,9 В, сопротивления проводников R1 = 45 Ом, R2 = R3 = 10 Ом (рис. 2.1). Найти силу тока во всех участках цепи. Внутренним сопротивлением источников тока пренебречь.

2.6. Найти силу тока, текущего через проводник сопротивлением R1 (рис. 2.2), если ε1 = 2 В,

лениевольтметраR = 150 Ом(рис. 2.3). Показаниевольтметра150 В. Найтиε1 иε2.

2.8. Электрическую лампочку сопротивлением 240 Ом, рассчитанную на напряжение 120 В, надо питать от сети с напряжением 220 В. Какое добавочное сопротивление надо включить в цепь, чтобы она горела в номинальном режиме?

46

ГЛАВА 3. ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

§23. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

В главе 1 были рассмотрены электростатические поля, т.е. электрические поля, не изменяющиеся со временем, которые существуют вокруг зарядов, неподвижных в какой-либо инерциальной системе отсчёта. Выясним, какие изменения происходят в окружающем заряды пространстве, если они приходят в равномерное движение.

1. Присоединим два гибких металлических проводника, укреплённых параллельно, к источнику тока, как показано на рис. 23.1 а. На проводниках появляются равномерно распределённые заряды противоположных знаков, которые создают вокруг себя электростатическое поле. В результате этого возникает сила электростатического притяжения. Если замкнуть ключ К, то по проводникам потечёт постоянный ток. При этом, несмотря на силы электростатического притяжения, проводники отталкиваются (рис. 23.1 б). Это свидетельствует о том, что между ними возникли силы не электростатического происхождения. Их появление можно объяснить, если предположить, что вокруг проводника с током, т.е. вокруг упорядоченно движущихся электрических зарядов, образуется поле, отличное от электростатического. Его назвали магнитным полем. Тогда взаимодействие токов объясняется следующим образом. Магнитное поле, создаваемое током, текущим по одному проводнику, действует на ток, проходящий по другому, и наоборот. Итак,

приходим к выводу: вокруг равномерно движущихся электрических зарядов возникает магнитное поле, которое обнаруживается по действию на другие движу-

щиеся в этом поле заряды. Необходимо отметить, что электрическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся заряды, а магнитное — только на

движущиеся.

47

навливает так, что его магнитный момент совпадает с направлением магнитного поля в данной точке поля. Если контур

вывести из положения равновесия, то на него будет действовать момент сил, стремящийся вернуть его в положение равновесия. Этот момент сил будет наибольшим (максимальным), когда магнитный момент контура перпендикулярен к направлению поля. Пусть в одну и ту же точку магнитного поля вносятся различные пробные контуры. Тогда на них будут действовать и различные максимальные моменты сил. Однако отношение модуля максимального момента Mmax к модулю магнитного момента контура pm остаётся постоянным независимо от модуля магнитного момента. Поэтому его принимают за характеристику поля в данной точке. Её называют индукцией магнитного поля и обозначают через B, т.е.

Таким образом, модуль индукции магнитного поля в некоторой точке равен отношению максимального момента сил, действующего на пробный контур, помещённый в эту точку, к его магнитному моменту, и направление индукции магнитного поля совпадает с направлением магнитного момента в положении, когда момент сил равен нулю.

В системе единиц СИ индукция магнитного поля измеряется в теслах (Тл). Как следует из (23.2), 1 Тл — это индукция в такой точке магнитного поля, при внесении в которую пробного контура с магнитным моментом 1 А м2 на него действует максимальный момент сил, равный 1 Н м. Подсчитаем размерность тесла.

3. Линии магнитной индукции. Для наглядного изображения магнитного поля пользуются линиями магнитной индукции. Линией магнитной индукции называют такую линию, в каждой точке которой индукция магнитного поля (век-

тор B ) направлена по касательной к кривой. Направление этих линий совпадает с направлением поля. Условились линии магнитной индукции проводить так, чтобы число этих линий, приходящихся на единицу площади площадки, перпендикулярной к ним, равнялось бы модулю индукции в данной области поля аналогично тому, как это делалось в случае электрического поля (см. §4). Тогда по густоте линий магнитной индукции судят о магнитном поле. Там, где линии гуще, модуль индукции магнитного поля больше. Так же, как и линии напряжённости электрического поля, они не пересекаются. Линии магнитной индукции всегда замкнуты в отличие от линий напряжённости электростатического по-

48

ля, которые разомкнуты (начинаются и заканчиваются на зарядах). Направление линий магнитной индукции находится по правилу правого винта: если поступа-

тельное движение винта совпадает с направлением тока, то его вращение происходит в направлении линий магнитной индукции. В качестве примера приведём картину линий магнитной индукции прямого тока, текущего перпендикулярно к плоскости чертежа от нас за чертёж (рис. 25.3).

4. Закон Ампера. Установлено, что на проводник с током, помещённый в магнитное поле, действует сила. Ампер установил, что модуль dF силы находится по формуле:

где I — сила тока, проходящего по проводнику, B — модуль индукции магнитного поля в месте расположения участка, α — угол между направлениями тока и

вектора B . Направление этой силы, получившей название силы Ампера, опреде-

ляется по правилу левой руки: если руку расположить так, чтобы линии магнитной индукции входили в ладонь, четыре вытянутых пальца совпадали с направлением тока, то отогнутый на 90° большой палец даёт направление силы. Сила

Ампера перпендикулярна к плоскости, проведённой через dl и B . В случае прямолинейного проводника длиною l, находящегося в однородном магнитном поле, формула (23.3) запишется

5. Сила Лоренца. Поскольку ток представляет собой упорядоченное движение электрических зарядов, то естественно предположить, что сила Ампера является равнодействующей сил, действующих на отдельные заряды, движущиеся в проводнике. Найдём силу, которая действует на электрический заряд, движущийся в магнитном поле. Согласно (16.1), сила тока, проходящего по проводнику, равна I = qnυS, где q и υ — величина и скорость заряда, n — число свободных заряженных частиц в единице объёма проводника, S — площадь поперечного сечения проводника. Подставляя это выражение в (23.3), получаем,

что dF = BqυnS dl sin α = BqυdN sin α, так как dN = nS dl = n dV есть число заряженных частиц, движущихся внутри проводника длиной dl, dV — элементарный объём этого участка. Разделив последнее равенство на число частиц dN, находим силу FL, действующую на заряженную частицу:

где α — угол между векторами υ и B . Выражение (23.5) называется силой Ло-

ренца. Эта сила перпендикулярна к векторам υ и B , её направление находится по правилу левой руки: если руку расположить так, чтобы четыре вытянутых пальца совпадали с направлением движения положительного заряда, линии индукции магнитного поля входили в ладонь, то отставленный на 90° большой па-

лец даёт направление силы. В случае отрицательной частицы направление силы противоположно.

49

§24. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

Ранее было показано (см. §5), что в веществе (диэлектрике) электрическое поле ослабляется. Уменьшение напряжённости поля характеризуется диэлек-

трической проницаемостью ε = Eυ / E, где Eυ и E — напряжённость поля в вакууме и в веществе. Это ослабление обусловлено ориентацией вдоль поля дипольных моментов молекул, из которых состоит вещество. При внесении вещества в магнитное поле также происходит его изменение, которое определяется магнитной проницаемостью μ:

где B и BBυ — модуль индукции магнитного поля в веществе и в вакууме. Выясним, чем обусловлено изменение магнитного поля в веществе. Для этого необходимо рассмотреть поведение атомов и молекул в магнитном поле.

1. Магнитный момент атома. Согласно теории Бора, атом представляет собой положительно заряженное ядро, вокруг которого движутся отрицательно заряженные электроны. Такое движение электрона по орбите эквивалентно замкнутому току и, следовательно, можно говорить о магнитном моменте pl

(см. §23, п. 2), который называют орбитальным магнитным моментом элек-

трона. Из опытов установлено, что вокруг электрона существует магнитное поле, которое зависит от так называемого спинового магнитного момента ps .

Таким образом, электрон в атоме одновременно обладает орбитальным и спиновым (собственным) магнитным моментом. Спиновыми магнитными моментами обладают не только электроны, но и многие другие элементарные частицы

— такие, как протоны и нейтроны, составляющие ядро атома. Спиновый магнитный момент является неотъемлемым свойством элементарных частиц подобно тому, как они обладают массой и зарядом. Все атомы (за исключением водорода), а тем более молекулы, имеют больше одного электрона. Очевидно, что магнитные моменты отдельных электронов складываются, и результирующий момент атома может быть как отличным от нуля, так и равным ему. При внесении вещества в магнитное поле магнитные моменты атомов ориентируются определённым образом и изменяют поле. В зависимости от того обладают они магнитным моментом или нет, изменение магнитного поля в веществе носит различный характер.

Все вещества обладают магнитными свойствами, которые проявляются при внесении их в магнитное поле. В этом случае их называют магнетиками. Все магнетики подразделяются на три типа: диа-, пара- и ферромагнетики.

2. Диамагнетики. К диамагнетикам относятся вещества, атомы или молекулы которых в отсутствие магнитного поля не обладают магнитным моментом (магнитные моменты, связанные с отдельными электронами, взаимно скомпенсированы). При внесении диамагнетика в магнитное поле электроны начинают также вращаться вокруг оси, совпадающей с направлением магнитного поля. Вследствие этого

50

возникают индуцированные магнитные моменты электронов, направленные против поля, которые создают собственное магнитное поле, направленное против внешнего поля. Это приводит к ослаблению магнитного поля. Поэтому магнитная проницаемость μ < 1. К диамагнетикам относятся многие металлы (висмут, серебро, золото, медьит.д.), большинствоорганическихсоединений, инертныегазыидр.

Вообще говоря, появление индуцированных магнитных моментов присуще всем веществам. Этоназываютдиамагнитнымэффектом. Однакооноченьслаб.

3. Парамагнетики. Вещества, молекулы (атомы) которых обладают магнитными моментами в отсутствие магнитного поля, называются парамагнетиками. При внесении парамагнетика во внешнее магнитное поле магнитные моменты молекул стремятся установиться вдоль поля. Однако полной ориентации этих моментов препятствует тепловое движение молекул. В результате устанавливается преимущественная ориентация магнитных моментов молекул в направлении внешнего магнитного поля, приводящая к возникновению собственного поля, направленногоr

в сторону внешнего поля. Обозначим индукцию этого поля через Bп. Одновре-

менно (см. п. 2 данного параграфа) молекулы индуцируют магнитные моменты, направленные противr внешнего поля. Это приводит к созданию магнитного по-

ля с индукцией Bд, направленного против внешнего поля. Согласно принципу

суперпозиции (наложенияr ) полей, индукция B магнитного поляr вrсреде равна сумме индукции Bυ внешнего магнитного поля, индукций Bп и Bд, обусловленных ориентацией магнитных моментов молекул и диамагнитным эффектом

магнетике усиливается и магнитная проницаемость μ > 1.

Необходимо отметить, что усиление магнитного поля в парамагнетиках и его ослабление в диамагнетиках незначительно. Поэтому эти вещества относятся к группе слабомагнитных материалов. Парамагнетиками являются редкоземельные элементы, алюминий, платинаидр.

4. Ферромагнетики. Существует и группа веществ, обладающих сильными магнитными свойствами, называемая ферромагнетиками. Ими являются железо, никель, кобальт и их сплавы. Они характеризуются тем, что собственное магнитное поле внутри вещества значительно превосходит внешнее. Это объясняется строением ферромагнетиков. В них имеются области размером до 0,1 мм, в которых спиновые магнитные моменты электронов расположены параллельно друг другу в одном направлении. Эти области получили название доменов. В отсутствие внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных доменов, равные сумме спиновых магнитных моментов электронов, находящихся в нём, ориентированы хаотически. Поэтому собственное магнитное поле этих доменов компенсируется. При внесении ферромагнетика в магнитное поле происходит ориентация магнитных моментов доменов вдоль внешнего поля, а не отдельных атомов,

51

как в случае парамагнетиков. Вследствие этого собственное магнитное поле быстро возрастает, и индукция магнитного поля в веществе достигает больших значений. Когда все магнитные моменты доменов выстраиваются вдоль поля, индукция собственного магнитного поля достигает наибольшего значения. В этом случае μ » 1. Характерной особенностью ферромагнетиков является магнитный гистерезис, заключающийся в том, что индукция магнитного поля в веществе зависит не толькоотиндукцииBυ внешнегомагнитногополя (индукции магнитного поля в

вакууме), но и от предварительного намагничивания, которому подвергался ферромагнетик. Рассмотрим несколько подробнее это явление. Поместим не намагниченный железный сердечник в длинный соленоид, в котором ток отсутствует. Начнём постепенно увеличивать силу тока, что приводит к появлению внешнего магнитного поля, индукция Bυ которого будет нарастать пропорцио-

нально силе тока (см. §28). При этом индукция B в сердечнике также возраста-

точной индукцией магнитного поля B0 (отрезок 0–2). Для полного размагниче-

ния ферромагнетика необходимо приложить магнитное поле обратного направления. Величина индукции Bс магнитного поля, при которой намагниченность

образца полностью исчезает, называется коэрцитивной силой (отрезок 0–3). При дальнейшем увеличении индукции магнитного поля обратного направления сердечник достигнет насыщения в противоположном направлении (точка 4). Если теперь уменьшать индукцию магнитного поля до нуля, а затем снова увеличивать, сменив его направление на противоположное, индукция B будет изменяться в соответствии с кривой 4–5–6–1, пока не достигнет насыщения в точке 1. Замкнутая кривая 1–2–3–4–5–6–1 называется петлёй гистерезиса.

Ещё раз обратим внимание на остаточную намагниченность ферромагнетика В0 (рис. 24.1). Физический смысл этой величины в том, что ферромагнетик намагничен в отсутствие внешнего магнитного поля. Это означает, что мы имеем постоянный магнит, который сам создаёт в окружающем пространстве магнитное поле.

52