37.Метод Ньютона(нелинейные уравнения)

Если известно хорошее начальное приближение решения уравнения f(x) = 0, то эффективным методом повышения точности является метод Ньютона (метод касательных). Сформулируем достаточное условие сходимости метода.

Пусть функция f(x) определена и дважды дифференцируема на интервале от a до b, причём должно быть f(a)f(b)<0 , а производные f(x) и f '(x) сохраняют знак на интервале от a до b. Тогда, исходя из начального приближения, Хо принадлежащие [a, b] и удовлетворяющих условию f(Хо) f ' (Хо)>0 , можно построить последовательность: Х_к+1 = Х_к - f (Х_к) / f(X_k)), К=0,1,2,3. , сходящуюся к единственному на интервале [a, b] корню уравнения f(x)=0. Метод Ньютона позволяет (допускает) простую геометрическую интерпретацию. Выберем начальное приближение: f(b)>0, f '(b)>0 (т.к. функция вогнута) иXo=в.К точке кривой с абсциссой Xo проведем касательную.

Точку пересечения касательной с осью абсцисс обозначим Х_1;к точке с абсциссой X₁ снова проведем касательную точку ее пересечения с осью обозначим X₂ и т.д.

Таким образом будем продвигаться всё ближе и ближе к точке С, пока расстояние до него не станет меньше е. Получим условие остановки:

I X_k₊1-C | < |Х_к+1-Х_к|< е. Выведем расчетные формулы метода . У нас ABC - прямоугольный треугольник. tga = ВС/АС, tga = f(x) BC = (Xo) ,AC = Xo-X

Программа (исходные данные: f(X),f(X), Xo, е)

DEF FNF (X)=f(x)

DEF FNP (X)=f”(x)

INPUT X, eps

2 Y=X - FNF(X)/FNP(X)

IF ABS(Y-X)<eps THEN 5

X=Y: GOTO 2

5 PRINT Y,FNF(Y)

END.

Например: +х₀ -1=0 с е=0.1 в [0,1]

1) Выбор начального приближения

f(X) =Х^3+Х-1 f(X)=3X^2+1 f'(X)=6X f(Xo)f(Xo)>0 f(1)>0

f '(1)=6>0 Xo=1

X₁=Xo-(Xo^3+Xo-1)/(3Xo^2+1)= 0.75 X₂=0.75

X2=X1-(X1^3+X1-1)/(3X1^2+1)=89=0,750-(0,172/2,688)=0,686

I x₂-x₁1 = | 0,686-0,750 | =0,064.

38.Метод простой итерации.

Метод состоит в замене исходного уравнения f(x)=0 эквивалентным уравнением х=ф(х) и построение последовательности:Хк+1 = ф(Х_к),К=0,1,2,3... сходящейся к точному решению. Такую замену можно сделать многими способами:

n, h(x) выбирают удовлетворяющими условию сходимости метода.

Достаточное условие сходимости метода простой итерации Пусть функция ф(х) определена и дифференцируема на [a, b], причём все значения ф(х) принадлежат [a, b] , тогда, если существует число q такое, что | ф'(х)| <=q<1 на [a, b]., то последовательность:

Хк+1= ф(Хк), К=0,1,2,3... стремится к единственному на [a, b] решению уравнения х =ф(х) при любом начальном приближении Хо из [a, b], т.е.:limХк+1=lim ф(Хк)=С

k=> ∞ k => ∞ , С= ф(С),f(С)=0

Для оценки погрешности след. неравенства: ф'(Х)>0

Метод простой итерации допускает следующую геометрическую интерпретацию: 1) 0< U'(X)<1 Х1= U(Xc)

Y=U(x) , Х₂= U(X1), 2)-1<U”(x)>0

Н-р: x³ +x-1=0 е=0.1 [0,1]

x=x+(x³+x-1)/n