35.Численные методы. Погрешности вычислений.

После того, как дана формулировка задачи и построена математическая модель, необходимо выбрать эффективный метод решения полученной математической задачи. Для решения математических задач используют три основные группы методов: графические, аналитические, численные.

Первые две группы методов позволяют получить решение в редких случаях. Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. При этом результат получается в виде числовых значений. Обычно результат находится с некоторой погрешностью. Надо учитывать как сложность расчётных формул связанных с тем или иным методом, так и необходимую точность вычислений.

Структура погрешности задач.Есть четыре источника погрешности результата:1)математическая модель, 2)исходные данные, 3)численный метод, 4)округление при вычислениях.

Погрешность математической модели связана с тем, что она охватывает важнейшие для данной задачи стороны явления, но не все. Исходные данные не точны, т.к. они являются результатами измерений или эксперимента. Погрешность исходных данных называется неустранимой погрешностью т.к. независит от исследователя. Погрешность метода связана с тем, что решение задачи сформулированной в терминах более сложных (производные, интегралы, диф. уравнения), сводится к вычислению в определённом порядке арифметических выражений. Например, интеграл заменяется суммой. Погрешность метода регулируема, т.е. она может быть уменьшена до любого разумного значения. Погрешность округления возникает из-за ограниченности разрядной сетки ЭВМ, т.е. число не может быть полностью записано в ячейку, приходится отбрасывать часть и в дробной части числа.

При решении больших задач выполняется миллиард операций и, казалось бы, что погрешность округления будет накапливаться в ходе вычислений. Однако при отдельных действиях, фактические погрешности числа могут иметь различные знаки и компенсировать друг друга. По результатам математической статистики, если нет систематических причин, то случайное накопление ошибок не слишком существенно. Абсолютная погрешность-погрешность выраж-я в ед измер-я измеряемой величины.

Относительная погрешность-отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины или рез-ту измерений.

Предельная относительная погрешность- число не меньше относит-й погрешности.

36.Метод деления отрезка пополам.

Пусть найден интервал [a, b], на концах которого функция f (x) имеет разные знаки, т.е. f(a)f(b)<0. Это означает, что на интервале [a, b] содержится несколько корней уравнения. Если интервал достаточно короткий, то корень один.

Интервал [a,b] делим на два : x = (a+b)/2 и получим 2 интервала [a,x] , [x,b]. Из двух интервалов выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки, ибо этот интервал содержит корни. Выбранный интервал снова делим пополам, и из двух интервалов выбираем тот, на концах которого функция имеет разные знаки, либо этот интервал содержит корни и т.д. Если требуется найти корень с точностью е, то деление продолжаем до тех пор, пока длина интервала не станет меньше е, после этого любое число из этого интервала можно взять в качестве значения корня, вычисленного с точностью е.

Алгоритм метода деления отрезка пополам.

Программа_(исходные данные: f(x), a, b, е):

DEF FNF(X) = f(x)

INPUT a, b, eps

2 x=(a+b)/2

IF FNF(a)*FNF(x)<0 THEN b=x ELSE a=x

IF (b-a)>s THEN 2

PRINT x, FNF(x)

END.

Пример. Решить уравнение +х-1=0 с точностьюs=0.3. Найдём интервал, содержащий корень, для этого: представим уравнение в виде х³ = 1-х, построим два графика:y = х³ , y = 1-х.

Корень содержится в интервале [0,1]. f(0)=-1 f (1) =1

(0+1)/2=0.5,

f (0.5)=0.125+0.5 -1= - 0.375,

(0.5+1)/2=0.75,

f (0.75)=27/64+3/4-1 =0.172,

/1-0.75 | =0.25< 0.3.

Ответ: Любое число интервала.[0.75,1] можно взять в качестве приближенного значения корня. Метод деления отрезка пополам - это простой и надёжный метод поиска простого корня, он сходится для любых непрерывных функций, в том числе и не дифференцируемых. Скорость сходимости не велика, для достижения точности s необходимо выполнить:

n ~ Log ₂ ( (b-a) /е) шагов,так как (b-a) / 2ⁿ ~ е