Линейчатые спектры и закономерности в них

Изучая соотношение частот разных спектральных линий в видимой области спектра атома водорода, Бальмер вывел эмпирическую формулу, которая описывала наблюдаемые частоты и позволила предсказать ряд других, ранее не наблюдавшихся. Позднее другими исследователями были получены аналогичные соотношения для частот спектральных линий, входящих в другие области спектра водорода (ультрафиолетовую и инфракрасную). С учётом всех этих данных обобщённая формула Бальмера имеет вид:

(4)

где — частота, испускаемого света; i = 1, 2, 3, 4 — целое число, характеризующее серию линий; n = i +1, i + 2, ... — целое число, характеризующее конкретную линию серии; R = 3,28·10¹⁵ с^–1 — постоянная Ридберга. При i = 1 описывается так называемая серия Лаймана в ультрафиолетовой области, при i = 2 — серия Бальмера в видимой области, при n = 3, 4, 5 — серии Пашена, Брэкета и Пфунда в инфракрасной области.

Простота формулы Бальмера и точность описания спектра предполагала, что эта формула не формальна, а имеет глубокий смысл, т.е. её можно получить теоретически. Бор рассмотрел атом водорода с учётом предложенных постулатов.

Боровская теория атома водорода

Электрон, двигаясь по круговой орбите радиусом r, обладает центростремительным ускорением a = ²/ r. Между электроном и ядром действует кулоновская сила притяжения F = e²/(4_r²). По второму закону Ньютона запишется:

(5)

Здесь m и  — масса и скорость электрона; e — заряд электрона и ядра по абсолютной величине; ₀ — электрическая постоянная. Из второго постулата Бора  = nh/(2mr). Подставляя это значение в выражение (4), находим, что

(6)

Отсюда следует, что электрон движется лишь по орбитам вполне определённого, а не любого радиуса. При n = 1 получаем радиус первой боровской орбиты

r₁ = _h²/(me²). (7)

Тогда радиусы остальных орбит определяются из соотношения

r = r₁n² . (8)

Формула (7) позволила оценить размеры атома водорода (~10^–10 м), который определяется радиусом вращения электрона.

Полная энергия W атома при движении электрона по орбите радиуса r складывается из кинетической энергии W_k электрона относительно ядра и потенциальной энергии W_p взаимодействия электрона с ядром, т.е. W = W_k + W_p. Уравнение (5) преобразуем к виду:

илиW_k =  (1/2)W_p, (9)

поскольку W_p =  потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов и m²/2 = W_k  кинетическая энергия электрона. Учитывая это и выражение (9), получаем, что W= (1/2)W_p = . Подставляя в эту формулу соотношение (6), находим:

(10)

где n может принимать только целые значения 1, 2, 3, ... . Величину n в квантовой физике называют главным квантовым числом.

На основе выше сказанного можно объяснить природу линейчатых спектров. Согласно третьему постулату Бора, энергия испущенного или поглощённого кванта с учётом (10) равна:

h = W_n  W_i = (11)

Отсюда частота кванта

(12)

Сравнивая это выражение с соотношением (4), видим, что теоретическим путём была получена формула Бальмера. Постоянная Ридберга вычисленная по формуле и найденная экспериментально совпадают.

Таким образом, теория Бора позволила вычислить энергию атома водорода, его размеры и объяснить происхождение линейчатых спектров. Слабой стороной теории Бора была внутренняя логическая противоречивость: с одной стороны, она использовала классическую теорию (закон Ньютона), с другой  новые квантовые представления (постулаты Бора). После открытия волновых свойств вещества стало совершенно ясно, что теория Бора явилась только переходным этапом на пути создания новой последовательной теории атомных явлений  квантовой механики.