контрольная работа №4
.docx
Задание 4.1.
Вычислить неопределенные интегралы.
Непосредственное интегрирование.
а).
;
б).
;
в).
.
Интегрирование по частям.
.
Интегрирование дробно-рациональных функций.
.
Интегрирование иррациональных функций. Вычисление определенного интеграла.
.
Решение.
а). Используем метод замены переменной для вычисления указанного неопределенного интеграла.
.
б). Используем метод замены переменной для вычисления указанного неопределенного интеграла.
.
в). Используем метод замены переменной для вычисления указанного неопределенного интеграла.
.
.
.
Разложим подынтегральное выражение на сумму простейших дробей, используя метод неопределенных коэффициентов.
Разложение дроби на простейшие имеет вид:
.
Освобождаясь от знаменателей, получаем:
;
;
.
Приравниваем
коэффициенты одинаковых степеней
:
.
Решаем полученную систему уравнений с тремя неизвестными:
;
;
;
;
;
.
Следовательно,
.
Тогда, получим:
.
.
Сначала решим соответствующий неопределенный интеграл:
.
Используя формулу Ньютона-Лейбница, вычисляем указанный определенный интеграл:
.
Задание 4.2.
Найти длину
указанной кривой:
,
,
.
Решение.
Для определения
длины указанной линии, которая задана
параметрически, используем соответствующую
формулу:
.
В нашем случае получим:
;
;
;
.
Задание 4.3.
Изменить порядок интегрирования, сделать чертеж.
.
Решение.
Так как внутренний
интеграл берется по
,
то пределы внутреннего интеграла
показывают, какими линиями область
интегрирования ограничена снизу и
сверху. Уравнения этих линий должны
быть соответственно
и
(полукруг в первой и второй координатных
четвертях с центром в начале координат
и радиусом равным 5). Пределы внешнего
интеграла указывают промежуток изменения
переменной
в области интегрирования от 0 до 3.
Построим область интегрирования.
Решая уравнения
заданного полукруга относительно
,
получим:
;
;
;
.
Теперь приступаем
к изменению порядка интегрирования в
заданном интеграле, то есть будем
внутреннее интегрирование производить
по
,
а внешнее – по
.
Учитывая чертеж, получим две области:
1). первая ограничена
по переменной
от 0 до 3, а по переменной
от 0 до 4;
2). вторая ограничена
справа полукругом
,
а слева –
;
по переменной
имеем ограничения от 4 до 5.
Объединяя полученные две области, получим:
Задание 4.4.
Вычислить
криволинейный интеграл
вдоль линии
– контур треугольника
(в положительном направлении), причем
,
,
.
Решение.
Сделаем схематический чертеж указанного контура:
Запишем уравнения полученных прямых:
;
;
;
;
;
.
1). Вычислим указанный
криволинейный интеграл вдоль линии
.
Определяем необходимые данные для расчета криволинейного интеграла:
.
Тогда, получим:
.
2). Вычислим указанный
криволинейный интеграл вдоль линии
.
Определяем необходимые данные для расчета криволинейного интеграла:
.
Тогда, получим:
.
3). Вычислим указанный
криволинейный интеграл вдоль линии
.
Определяем необходимые данные для расчета криволинейного интеграла:
.
Тогда, получим:
.
Следовательно,
.