Контрольная работа №1
.docx
Задание 1.1.
Даны координаты вершин пирамиды , , , .
1). длину ребра ;
2). угол между ребрами и ;
3). угол между ребром и гранью ;
4). площадь грани ;
5). объём пирамиды;
6). уравнение прямой ;
7). уравнение плоскости ;
8). уравнение высоты, опущенной из вершины на грань .
Решение.
1). Используем формулу для нахождения длины ребра через координаты его конечных точек:
.
2). Запишем координаты векторов и :
;
Угол между ребрами – это угол между векторами и , поэтому используем соответствующую формулу:
.
Тогда, получим:
.
3). Угол между ребром и гранью – это угол между вектором и нормальным вектором плоскости .
Находим нормальный вектор плоскости как векторное произведение векторов и :
.
Далее, используем соответствующую формулу для вычисления искомого угла:
.
Следовательно,
.
4). Площадь грани вычисляется как половина длины векторного произведения векторов и , на которых она построена, т.е. половина длины нормального вектора плоскости . Тогда, получим:
Векторное произведение:
i(5 • 2-0 • (-3)) - j(0 • 2-(-3) • (-3)) + k(0 • 0-(-3) • 5) = 10i + 9j + 15k
.
5). Используем формулу для нахождения объёма пирамиды через координаты векторов ; ; , на которых она построена:
.
6). Запишем симметричные уравнения прямой через координаты точки и направляющего вектора :
;
.
7). Запишем уравнение плоскости по известному нормальному вектору и точке плоскости :
;
;
;
.
8). Направляющим вектором искомой высоты есть нормальный вектор плоскости : (поскольку высота перпендикулярна к этой плоскости).
Запишем симметричные уравнения высоты через координаты точки и направляющего вектора :
;
;..
Задание 1.2.
Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от начала координат и от точки относятся как 2:1.
Решение.
Пусть – произвольная точка данной линии.
Находим расстояние от точки линии к началу координат по соответствующей формуле расстояния между двумя точками:
.
Находим расстояние от точки на линии к точке :
.
По условию, найденные расстояния относятся как 2:1. Следовательно,
; ;
.
Преобразуем полученное уравнение указанной линии:
;
;
;
;
;
.
Выделяем полные квадраты:
;
;
;
;
;
.
Следовательно, – каноническое уравнение окружности с центром в точке и радиусом .
Задание 1.3.
Дана система линейных уравнений. Доказать её совместность и решить методом Гаусса.
.
Решение.
Теорема Кронекера-Капелли: для того, чтобы линейная система уравнений являлась совместной необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы.
Запишем расширенную матрицу системы:
.
Сводим расширенную матрицу системы к трапециевидной форме, используя эквивалентные преобразования.
Поменяем местами первую и третью строки расширенной матрицы:
.
Разделим первую строку на 2.
.
Умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй. Полученные результаты запишем во вторую строку новой расширенной матрицы.
.
Умножим первую строку на (-3) и прибавим к третьей. Полученные результаты запишем в третью строку новой расширенной матрицы.
.
Прибавим вторую строку к третьей. Полученные результаты запишем в третью строку новой расширенной матрицы.
.
Требуемая форма расширенной матрицы получена. Количество ненулевых строк основной и расширенной матрицы одинаковы, поэтому ранг основной матрицы равен рангу расширенной. Это означает, что система линейных уравнений является совместной.
Из последней расширенной матрицы находим решение системы (обратный ход):
1). из третьей строки получим:
; ;
2). из второй строки получим:
; ; ;
3). из первой строки получим
; ; .
Таким образом ,,.
Выполним проверку полученного решения. Подставляя найденные значения x1,x2,x3.
Приходим к тождеству.
Задание 1.4.
Привести к каноническому виду уравнения линий второго порядка. Сделать чертежи.
а). ;
б). ;
в). .
Решение.
а). .
Разделим обе части уравнения на 2:
; ; .
Следовательно, имеем каноническое уравнение эллипса с центром в начале координат, с фокусами на оси ординат (поскольку ), малой полуосью и большой полуосью .
б). .
Разделим обе части уравнения на 3:
; ; .
Следовательно, имеем каноническое уравнение гиперболы с фокусами на оси абсцисс, действительной полуосью и мнимой полуосью .
в). .
Выделяем полный квадрат по переменной :
; ;
.
Тогда, получим:
; ; .
Следовательно, получили каноническое уравнение параболы с вершиной в точке , с фокусом на отрицательной полупрямой (парабола опущена ветками вниз)