контрольная работа №2
.docx
Задание 2.1.
Вычислить пределы:
а). ;
б). ;
в). .
Решение.
а). Подставляя вместо нулевое значение, получим:
.
б). Подставляя вместо нулевое значение, получаем неопределенность . Используя тригонометрические тождества преобразуем числитель: . При дальнейшем вычислении предела используем эквивалентность синуса, а именно . Тогда, получим:
.
в). Сводим указанный предел ко второму замечательному пределу, а именно к пределу вида , который равен числу Непера . Тогда, получим:
.
Задание 2.2.
Найти производные данных функций:
а). ;
б). ;
в). ;
г). ; д). .
Решение.
а).
.
б).
.
в).
.
г). .
Применяем логарифмическое дифференцирование. Прологарифмуем обе части уравнения:
.
Используя свойства логарифма, получим:
.
Продифференцируем обе части полученного выражения:
;
; .
Тогда, получим:
; .
д). .
Имеем неявно заданную функцию двух переменных: .
Находим частные производные:
; .
Используем соответствующую формулу для нахождения производной неявно заданной функции двух переменных:
.
Задание 2.3.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .
Решение.
Находим производную первого порядка:
.
Приравнивая найденную производную к нулю, находим критические точки:
; ;
, , .
Точка не принадлежит отрезку , поэтому в дальнейших расчетах ее не рассматриваем. Другие две критические точки принадлежат отрезку . Находим значения функции в этих точках, а также на концах отрезка:
;
;
.
Сравнивая найденные значения, делаем вывод о том, что наибольшее значение функции на указанном отрезке равно , а наименьшее – .
Задание 2.4.
Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить ее график.
а). ;
б). .
Решение.
а). .
1). Область определения функции: .
2). Исследуем функцию на четность и нечетность.
, поэтому функция ни четная ни нечетная. Следовательно, ее график не будет симметричным ни относительно оси ординат, ни относительно начала координат.
3). Функция непериодическая.
4). Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
При получим: . Следовательно, – точка пересечения графика функции с осью ординат.
При получим: ; , . Следовательно, и – точки пересечения графика функции с осью абсцисс.
5). Находим производную первого порядка и определяем критические точки.
;
; ; – критические точки.
Находим значения функции в критических точках:
; .
Разбиваем критической точкой область определения на интервалы. Строим дополнительную расчетную таблицу для определения промежутков роста и убывания функции, а также для нахождения экстремумов (при помощи определения знака производной на каждом из интервалов):
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
|
0 |
|
|
||
|
|
максимум |
|
минимум |
|
6). Находим производную второго порядка и определяем возможные точки перегиба.
;
; .
Находим значение функции в найденной точке:
Разбиваем найденными точками область определения на интервалы. Строим дополнительную расчетную таблицу для определения промежутков вогнутости и выпуклости функции, а также для нахождения точек перегиба (при помощи определения знака производной второго порядка на каждом из интервалов):
– |
0 |
+ |
|
выпуклая |
вогнутая |
||
|
|
перегиб |
|
7). По результатам исследования строим график функции.
б). .
1). Область определения функции: .
2). Исследуем функцию на четность и нечетность.
, поэтому функция четная. Следовательно, ее график будет симметричным относительно оси ординат.
3). Пусть – произвольное фиксированное число. Тогда
.
Поскольку косинус является периодической функцией с основным периодом , то в нашем случае получим:
; – основной период указанной функции.
Следовательно, функция – периодическая.
В дальнейшем будем исследовать функцию на отрезке (в остальных точках график функции будет повторятся).
4). Находим точки пересечения графика функции с осями координат.
При получим: . Следовательно, – точка пересечения графика функции с осью ординат.
При получим: ; ;
Для отрезка получим: и .
Следовательно, и – точки пересечения графика функции с осью абсцисс.
5). Находим производную первого порядка и определяем критические точки.
;
; ; ; – критические точки.
Для отрезка получим две критические точки: и .
Находим значения функции в критических точках:
; .
Строим дополнительную расчетную таблицу для определения промежутков роста и убывания функции, а также для нахождения экстремумов (при помощи определения знака производной на каждом из интервалов):
+ |
0 |
– |
0 |
+ |
|
|
1 |
|
-1 |
|
|
|
|
максимум |
|
минимум |
|
6). Находим производную второго порядка и определяем возможные точки перегиба.
;
; ; – возможные точки перегиба.
Для отрезка получим: и .
Строим дополнительную расчетную таблицу для определения промежутков вогнутости и выпуклости функции, а также для нахождения точек перегиба (при помощи определения знака производной второго порядка на каждом из интервалов):
– |
0 |
+ |
0 |
– |
|
выпуклая |
0 |
вогнутая |
0 |
выпуклая |
|
|
|
перегиб |
|
перегиб |
|
7). По результатам исследования строим график функции.