3.2. Установление наличия тренда

Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда (тенденции развития ряда) возможна несколькими способами (метод средних, Фостера и Стюарта, Валлиса и Мура и пр.), но наиболее простым является графическая модель, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат – уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. Тренд может представлять собой прямую линию, параболу, гиперболу и т.п. В итоге приходим к трендовой модели вида:

, (45)

где – математическая функция развития; – случайное или циклическое отклонение от функции; t – время в виде номера периода (уровня ряда). Цель такого метода – выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

– прямая линия; – гипербола; – парабола;– степенная; – ряд Фурье.

Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y(t) (рис.5):

Рис.5. График динамики среднегодовой численности занятых в экономике с 2006 -2011гг.

Из данного графика видно, что есть все основания принять уравнение тренда в виде линейной функции.

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( – читается как «игрек, выровненный по t») от фактических () дает метод наименьших квадратов – МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней :

. (46)

В нашей задаче при выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (45) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

(47)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

(48)

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле (48) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 3.3.

Таблица 3.3

. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Год	y	t	t2	yt		(y –)2	(–)2	(y – )2
2006	68327	-3	9	-204981	67845,702	231647,398	138320280,930	127230880,111
2007	74710	-2	4	-149420	71766,024	8666995,810	61475680,413	23977344,444
2008	75359	-1	1	-75359	75686,345	107154,905	15368920,103	18042672,111
2009	75898	1	1	75898	83526,988	58201459,357	15368920,103	13754208,444
2010	86407	2	4	172814	87447,310	1082243,905	61475680,413	46244533,444
2011	96939	3	9	290817	91367,631	31040153,065	138320280,930	300409778,778
Итого	477640	0	28	109769	477640	99329654,440	430329762,893	529659417,333

Из таблицы получаем, что = 477640/6 = 79606,667 и = 109769/28 = 3920,321. Отсюда искомое уравнение тренда =79606,667+3920,321t. В 6-м столбце таблицы 3.3 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических и трендовых уровней (рис.6).

Рис.6. График эмпирических и трендовых уровней среднегодовой численности занятых в экономике

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т. При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:

, (2)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А – аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (51); Д_о – остаточная дисперсия (52), определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф (50) и аналитической дисперсии:

; (50)

; (51)

. (52)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле (2), для чего в 7-м столбце таблицы 6 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце – числитель аналитической дисперсии. В формуле (2) можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F_Р = 430329762,893*5/(529659417,333*1) = 4,062 < F_Т, значит, модель неадекватна и ее нельзя использовать для прогнозирования (F_Т= 6,61 находим по таблице значений F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05 [= k – 1 = 1] и [= n – k = 4]).