2.2. Вычисление дисперсий

По данным задания 1 (Корреляционный анализ) выделить три группы по результативному признаку и вычислить:

1. групповую дисперсию;

2. среднюю из групповых;

3. межгрупповую дисперсию;

4. общую дисперсию;

5. среднее квадратическое отклонение;

6. показатель вариации;

7. эмпирический коэффициент детерминации;

8. эмпирическое корреляционное отношение.

Полученные результаты расчетов проанализировать и сделать выводы.

Примечание: Общую дисперсию определить по правилу сложения дисперсий и проверить обычным способом.

Из исходных данных, которые мы взяли из первого раздела (Корреляционный анализ) выделим три группы по результативному признаку y:

Таблица 2.2

Исходные данные к заданию 1

Себестоимость строительно-монтажных работ, тыс.руб.	Потери рабочего времени, чел-часов
Y3	X2
116	292
130	243
126	260
132	256
150	295
141	254
147	248
156	256
163	280
150	276
185	285

тыс. руб.

Получаются интервалы: 116 -139

139-162

162-185

Таблица 2.3.

Группы построенные по результативному признаку

1 группа				2 группа				3группа
№	У			№	У			№	У
1	116	-10	100	1	141	-7,8	60,84	1	163	-11	121
2	126	0	0	2	147	-1,8	3,24	2	185	11	121
3	130	4	16	3	150	1,2	1,44
4	132	6	36	4	150	1,2	1,44
				5	156	7,2	51,84
Σ	504		152		744		118,8		348		242

Для определения средней себестоимости строительно-монтажных работ (), воспользуемся формулой средней арифметической простой, которая равна сумме отдельных значений признака деленных на число этих значений, т.е:

(29)

где: - значения результативного признака;

n – количество наблюдений в выборке.

И по данной формуле определим средние значения результативного признака для каждой из данных групп:

тыс. руб.

тыс. руб.

тыс. руб.

В статистике очень часто используется показатель под названием дисперсия, которая представляет собой среднеквадратическое отклонение индивидуальных значений признака от средней величины. Дисперсия - неименованная величина, т.е. она не имеет единиц измерения. Она рассчитывается как для сгруппированных данных, когда имеет частоты признака , так и для несгруппированных данных.

Если всю статистическую совокупность разложить на группы по какому - либо признаку, то для каждой группы можно определить следующие величины:

- групповую дисперсию;

- среднюю из групповых;

- межгрупповую дисперсию.

2.2.1 Вычисление групповой дисперсии

Групповая дисперсия отражает случайную вариацию, обусловленную влиянием неучтенных факторов и независящую от признака фактора положенного в основание группировки.

Она рассчитывается как для сгруппированных данных, когда имеет частоты признака , так и для несгруппированных данных.

Для сгруппированных данных: (30)

Для несгруппированных данных: (31)

где: - значение признака;

- среднее значение в выборке;

- число наблюдений в выборке;

- частоты признака.

В данном случае вычисляем групповую дисперсию по формуле для несгруппированных (невзвешенных) данных, так как у нас не имеется частоты признака .

Подставив данные в таблице 2.3. значения, найдем дисперсию каждой из трех групп:

Вывод: групповые дисперсии, вычисленные по трем группам, отражают действие всех факторов влияющих на себестоимость строительно-монтажных работ.

2.2.2 Вычисление средней из групповых

На основе частных дисперсий можно определить среднюю из групповых дисперсий. В данном случае она отражает изменение накладных расходов, под действием всех факторов влияющих на него, но в среднем по всей совокупности. Средняя из групповых дисперсий, так же как и групповая дисперсия не имеет единицы измерения.

Среднюю из групповых вычисляем по формуле:

(32)

где: f – частота

- групповая дисперсия

Если подставить все значения в данную формулу, то получим:

Вывод: данная величина показывает зависимость всех данных совокупности от неучтенных факторов, которые могут воздействовать на эту совокупность.

2.2.3. Вычисление межгрупповой дисперсии

Межгрупповая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, обусловленную влиянием факторного признака положенного в основу группировки, она равна среднеквадратичному отклонению групповых (частных) средних величин от общей средней величины для всей изучаемой совокупности. Она так же не имеет единицы измерения.

Межгрупповую дисперсию определяют по формуле:

(33)

Числовое значение межгрупповой дисперсии:

Вывод: чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние факторного признака на результативный признак, т.е. на накладные расходы. Но для того, чтобы узнать долю межгрупповой дисперсии в общей, нужно определить величину последней.

2.2.4. Вычисление общей дисперсии

Зная среднюю из групповых дисперсий и межгрупповую дисперсию, можно определить по правилу сложения общую дисперсию исследуемой совокупности. Общая дисперсия тоже не имеет единицы измерения.

(34)

Подставим данные в формулу и найдем численное значение общей дисперсии

где: - средняя из групповых;

- межгрупповая дисперсия.

Для проверки расчетов найдем общую дисперсию обычным способом по формуле (31)

Подставив в эту формулу значения получим

Вывод: так как мы вычислили общую дисперсию, то в дальнейшем можно будет определить эмпирический коэффициент детерминации, который поможет нам в определении доли межгрупповой дисперсии в общей.

2.2.5. Вычисление среднеквадратического отклонения

Мы уже рассмотрели несколько показателей вариации, но самым ярким показателем её является среднеквадратическое отклонение. Эта величина показывает то, насколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их средней величины. Среднеквадратическое отклонение есть корень квадратный из общей дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах измерения, что и изучаемый признак

тыс. руб.

Вывод: среднеквадратическое отклонение показывает, что себестоимость строительно-монтажных работ отклоняется от средней величины в среднем на 18,367 тыс.руб., т.е. чем меньше среднее квадратическое отклонение, тем лучше средняя арифметическая отражает всю представляемую совокупность.

2.2.6. Вычисление показателя вариации

Для сравнения участи одного итого же признака в нескольких совокупностях с различными средними величинами используют относительный показатель вариации – коэффициент вариации. Он представляет собой выражение в процентах отношения среднеквадратического отклонения к средней величине:

или 12,7% <33%

Вывод: измеряемая совокупность является однородной, т.к. коэффициент вариации не превышает 33%.

2.2.7. Вычисление эмпирического коэффициента детерминации

Данный коэффициент представляет собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии. Он служит для того, чтобы, определив данную долю, можно было сделать вывод о степени влияния факторных признаков на результативный. Эмпирический коэффициент детерминации определяется по формуле:

(35)

Вывод: из данного выражения можно сделать вывод, что себестоимость строительно-монтажных работ на 86,2% зависит от основного факторного признака, а на 13,8% зависит от всех остальных факторов.

2.2.8. Вычисление эмпирического корреляционного отношения

Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между фондом заработной платы и накладными расходами, есть ничто иное, как корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:

(36)

Эмпирическое корреляционное отношение показывает тесноту связи между себестоимостью строительно-монтажных работ и потерями рабочего времени, если для качественной оценки тесноты данной связи воспользуемся соотношением Чэддока:

	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0, 9	0,9-0,99
сила связи	слабая	умеренная	Заметная	тесная	весьма тесная

то в нашем случае связь весьма тесная, т.к. 0,9<0,97<0,99.

2.3. Заключение по разделу «Определение показателей вариации»

В первом пункте данного раздела мы построили интервальный ряд распределения признака и его график, рассчитали модальное, медианное и среднее значение, установили его типичность с помощью коэффициента вариации

Во втором пункте данного раздела мы провели расчет основных показателей вариации: вычислили групповые, среднюю из групповых, межгрупповую и общую дисперсию. Рассчитали коэффициент вариации, эмпирический коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

По всем расчетам сделаны выводы.