Lesn3_Integraly

Глава I. Неопределенный интеграл

§2. Интегрирование основных элементарных функций

Приведем таблицу интегралов для основных элементарных функций. Проверка соответствующих равенств сводится к дифференцированию их правых частей.

В последующих равенствах 9 - 12 a 0.

Перейдем к рассмотрению аналогов правил дифференцирования – методов интегрирования.

10

§3. Основные свойства неопределенного интеграла

§3. Основные свойства неопределенного интеграла

Для исследования методов интегрирования функций необходимо предварительно рассмотреть основные свойства неопределенного интеграла.

сследуем сначала, как связаны между собой операции дифференцирования и интегрирования функций.

Равенства вытекают непосредственно из равенств (1) и (2) §1. Свойство 2. Верны равенства:

f (x)dx f (x) C , df (x) f (x) C .

Первое следует непосредственно из равенства (1) §1, а второе - из первого равенства и формулы вычисления дифференциала функции df (x) f (x)dx .

Рассмотренные свойства интеграла, означают, что опера-

ции интегрирования и дифференцирования взаимно обратны.

оследующие свойства неопределенного интеграла рассмотрим по аналогии со свойствами производной.

Свойство 3. Сумма интегрируемых функций интегрируема, при этом интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых функций:

Это означает, что равенство (1) имеет место.

11

Доказательство предлагается выполнить самостоятельно. Свойства 3 и 4 называются свойствами линейности не-

вообразной для функции f (u(x)) u (x) , то есть f (u(x))u (x)dx =

или, еще проще: f (u)du = F(u) + С. Мы снова получили ра-

венство (3).

Итак, форма (3) записи неопределенного интеграла не зависит от того, является ли переменная u независимой или функцией другой переменной.

Это свойство называется инвариантностью формы не-

определенного интеграла. Оно лежит в основе одного из важнейших методов интегрирования функций.

Теперь мы готовы рассмотреть эти методы.

12

§4. Основные методы интегрирования функций

§4. Основные методы интегрирования функций

ассмотрим три метода вычисления неопределенного интеграла.

1. Метод разложения

Суть данного метода сводится к использованию свойств линейности неопределенного интеграла.

Пусть функция f(x) представлена (разложена) в виде ли-

n

нейной комбинации более простых функций: f (x) i fi (x) .

i 1

Тогда имеет место равенство

Пример 1.

(3 x )2 dx (9 6x x)dx 9x 4x3 12 x2 C .

2. Метод замены переменной (Метод подстановки)

Данный метод основывается на свойстве инвариантности неопределенного интеграла, более конкретно, на равенствах (4) и

(3) предыдущего параграфа. Из них вытекает:

Последовательность вычисления интеграла по этому методу можно представить схемой:

g(x)dx = f (u(x))d (u(x)) = f (u)du = F(u) + С = F(u(x)) + С.

13

3. Метод интегрирования по частям

Пусть функции u(x) и v(x) дифференцируемы на интервале. Тогда d(uv) = vdu + udv. Перепишем это равенство так: udv = d(uv) vdu. Проинтегрируем обе части равенства. Так как

d (uv) uv C , то

ex (x 1) C .

етод интегрирования по частям имеет достаточно ограниченную область применения. Чаще всего он используется для вычисления следующих интегралов.

14

§4. Основные методы интегрирования функций

Пусть x n- степенная функция с натуральным показателем;

E(x) - любая из основных элементарных функций: a x , sin x, cos x , tg x, ctg x ;

E 1(x) - любая из обратных функций:

loga x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x .

В третьем случае интегрирование по частям выполняется последовательно два раза. После второго применения метода возникает интеграл, кратный исходному. (Поэтому интегралы такого вида называют циклическими интегралами). В результате получается линейное уравнение для нахождения исходного интеграла.

заключение параграфа отметим следующее. Производная любой элементарной функции (если она существует) находится алгоритмически за конечное число шагов. При этом на каждом шаге используется либо табличная производная, либо одно из правил дифференцирования.

При интегрировании функций возникает более сложная ситуация. Таблицу основных интегралов, аналогичную по составу таблице основных производных, можно получить. Но рассмотренные три метода интегрирования не позволяют получить аналоги всех правил дифференцирования. Это не позволяет алгоритмически интегрировать элементарные функции.

Поэтому мы перейдем теперь к интегрированию функций некоторых конкретных классов.

15

Глава I. Неопределенный интеграл

Лекция 2

§5. Интегрирование рациональных функций

Любую рациональную функцию одной переменной можно представить в виде рациональной дроби.

Определение 1. Рациональной дробью называется функция вида

R(x) Qm ( x) ,

Pn ( x)

где Qm(x), Pn(x) - многочлены от x степеней m и n. Если m < n, то дробь называется правильной дробью, ес-

ли же m n - то неправильной.

Рациональная дробь определяется с помощью многочленов. Рассмотрим их свойства, которые нам понадобятся далее.

1.Свойства многочленов

1.Многочлен Pn(x) стандартного вида степени n с действительными коэффициентами записывается так:

2.Область определения многочлена множество всех действительных чисел R.

3.Два многочлена стандартного вида P(x) и Q(x) равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x.

4. Любой многочлен Pn(x) с действительными коэффициентами, a0 = 1, n > 1, раскладывается, с точностью до порядка множителей, единственным образом на множители вида:

Сумма всех показателей вида s и 2t равна степени n многочлена.

16

§5. Интегрирование рациональных функций

Разложение такого вида будем называть стандартным разложением многочлена.

Доказательство свойства опустим.

При разложении многочлена на множители используются:

1)метод вынесения общего множителя;

2)метод группировки;

3)формулы сокращенного умножения;

4)корни многочлена.

Пример 1.

P(x) = x3 3x 4 (x3 x) (4x 4) x(x 1)(x 1) 4(x 1) = = (x 1)(x2 x 4) .

В этом разложении x = 1 – корень, квадратный трехчлен x 2 x 4 имеет отрицательный дискриминант.

Перейдем к исследованию рациональных дробей.

2. Разложение рациональных дробей

Интегрирование рациональных дробей сводится, в основном, к их предварительному преобразованию.

режде всего, если рациональная дробь является неправильной, то из нее выделяют целую часть и правильную рациональную дробь, то есть представляют эту дробь в виде

где Qm-n(x), Ql(x) - многочлены степеней m n и l, причем l < n.

Равенство (4) можно получить, поделив многочлен Qm(x) на многочлен Pn(x).

Пример 2.

Выделим целую часть из неправильной дроби

R( x) 3x4 2x3 5x2 4x 1 . x3 2x2 x

Поделим числитель на знаменатель уголком:

17

Согласно равенству (4) интегрирование любой неправильной рациональной дроби сводится к интегрированию некоторого многочлена и некоторой правильной рациональной дроби. Так как интегрирование многочлена сводится к интегрированию табличных степенных функций, то все сводится к интегрированию правильной рациональной дроби.

тобы проинтегрировать правильную рациональную дробь, разложим ее, в свою очередь, на более простые рациональные дроби.

Определение 2. Рациональные дроби вида

где p2 4q 0 , называются простейшими дробями.

Обозначение простейшей дроби: E(x).

Доказательство опустим.

18

§5. Интегрирование рациональных функций

При практическом нахождении линейной комбинации простейших дробей используется

метод неопределенных коэффициентов.

Линейная комбинация находится в два этапа.

На I этапе линейную комбинацию записывают с неопределенными коэффициентами.

1. Многочлен Pn(x) знаменателя дроби раскладывают на

2. Для каждого множителя вида (2) в сумму (6) записывают s слагаемых с неопределенными коэффициентами:

Для каждого множителя вида (3) в сумму (6) записывают два набора по t слагаемых:

На II этапе находят коэффициенты линейной комбинации.

3.Простейшие дроби в правой части равенства (6) приводят к наименьшему общему знаменателю (он всегда равен Pn(x))

искладывают.

4.Многочлен степени n 1, получившийся в числителе дроби, приравнивают к многочлену Qm(x).

5.Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной в этих многочленах, записывают систему n линейных уравнений с n неизвестными коэффициентами.

6.Решают полученную систему уравнений. (Она всегда имеет единственное решение.)

7.Найденные коэффициенты подставляют в линейную комбинацию (6).

19