Lesn3_Integraly1

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

z1,2 1 2i .

Из следствия 1 вытекает, что, как и в случае действительных корней, имеет место разложение квадратного трехчлена:

az2 bz c a(z z1 )( z z2 ) .

На этом мы закончим первое знакомство с комплексными числами. Перейдем к исследованию функций, определенных на множествах комплексных чисел.

250

§2. Свойства двойного интеграла

Лекция 26

§2. Функции комплексной переменной

онятие функции определено для любых множеств X и Y. Перепишем определение для случая, когда X и Y – это подмножества множества комплексных чисел C.

Определение 1. Пусть D C и по некоторому правилу f каждому числу z D поставлено в соответствие единственное число w C. Тогда говорят, что на множестве D задана функция f со значениями в C.

Область определения функции f(z) всегда будем обозначать через D, а множество значений – через E.

График функции w = f(z) можно изобразить только в четырехмерном геометрическом пространстве R 4, поэтому функцию будем геометрически иллюстрировать, указывая на одном экземпляре комплексной плоскости область D определения функции, а на другом экземпляре комплексной плоскости - множество E значений функции:

Рассмотрим структуру функции w = f(z). Пусть z = x + iy и w = u + iv. Тогда равенство w = f(z) принимает вид

u + iv = f(x + iy).

Отсюда следует, что переменные u и v являются некоторыми функциями переменных x и y, то есть u = u(x, y) и v =

251

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

v(x, y). Таким образом, функция f(z) комплексной переменной z задается двумя функциями u(x, y) и v(x, y) двух вещественных переменных x и y. Эти функции называются, соответственно,

вещественной и мнимой частями функции f(z). Согласно этому будем писать:

Пример 1.

Разложим на составные части функцию f(z) = z2.

Часто будем рассматривать функции частного вида.

Определение 2. Функция f : D E называется взаимнооднозначной, если для w E существует единственный прообраз z D, такой, что f(z) = w.

В теории функций комплексной переменной такие функции называются также однолистными.

алее обычным образом определяются шесть операций над функциями:

пределяются также простейшие свойства функций:

четность, периодичность, ограниченность по модулю. Но нет понятия монотонной функции!

Обратимся теперь к структуре функций комплексной переменной, которые, в основном, будут исследоваться в дальнейшем.

§3. Элементарные функции комплексной переменной

о аналогии с функциями вещественной переменной вы-

делим сначала 12 основных элементарных функций комплексной переменной.

252

§2. Свойства двойного интеграла

1. Функция-константа f(z) = с.

2. Степенная функция

целочисленного аргумента: f(z) = z n, n Z.

3. Показательная функция

с натуральным основанием:

Пусть z = x + iy C. Полагаем:

ez ex eiy .

Учитывая функцию Эйлера eiy cos y i sin y , получаем

Отсюда следует разложение показательной функции: ez ex cos y iex sin y .

Легко проверяется, что функция e z обладает всеми свойствами показательной функции вещественной переменной. Например, для любых z, z1, z2 имеем:

Кроме того, к ним добавляются новые свойства.Так как функции sin y и cos y имеют период 2 , то

ez i2 n ezei2 n ez (cos2 n i sin 2 n) ez .

Таким образом,

253

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

4. Логарифмическая функция

Пусть z 0. Натуральным логарифмом комплексного чис-

ла z называется число w, удовлетворяющее условию ew = z. Обозначение: w = Ln z.

Согласно определению выполняется равенство

z .

Выразим Ln z в явном виде через z. Пусть Ln z = u + iv. Согласно (1) имеем eLnz eu iv eu (cosv i sin v) z . Отсюда

вытекает, что eu = | z |, то есть u = ln| z |, а v = arg z +2 n. Следовательно,

Таким образом, функция Ln z является многозначной. Однозначная функция, получаемая из Ln z при n = 0:

называется главным значением логарифма.

Пример 1.

Вычислим Ln 3.

Имеем: z = 3 = 3 + i 0. Поэтому | z | = 3, = 0. Тогда согласно (3) получаем Ln 3 = ln3 + i 2 n. Если n = 0, то ln z = ln3.

Также получаем ln ( 1) = i , то есть ei = 1.

Из равенства (3) вытекают обычные свойства логарифма. Например,

Ln( z1 z2) = Ln z1 + Ln z2.

Показательная и степенная функции общего вида

Учитывая свойства функций e z и Ln z, можем для любых чисел z1, z2 C \ {0} определить число

Если в этом равенстве зафиксируем число z2 = , а число

254

§2. Свойства двойного интеграла

z1 = z будем менять, то получим степенную функцию общего вида z .

Если же зафиксируем число z1 = a, а число z2 = z будем менять, то получим показательную функцию общего вида a z.

Данные две функции являются многозначными. Их свойства вытекают из свойств функций e z и Ln z.

5. Тригонометрические функции

Из формулы Эйлера для x R получаем:

Прибавляя к первому равенству второе и вычитая из первого второе, получим:

Вспомним теперь определения гиперболических функций:

Так как функция e z определена для всех z C, то по аналогии с данными функциями определяем функции комплексной переменной:

Аналогично определяются функции ctg z и cth z, однако отдельное исследование этих функций мы проводить не будем.

Непосредственно из равенств (6) получаем, что тригонометрические и гиперболические функции связаны равенствами:

255

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Из равенств (7) вытекает, что гиперболические функции комплексной переменной являются соответствующими тригонометрическими функциями кратного аргумента. Например, chz cos(iz) . Поэтому в дальнейшем отдельное исследование

гиперболических функций мы проводить не будем.

Отметим следующие свойства тригонометрических функций.

1. Функции sin z и cos z определены на всем множестве C и принимают все значения из C. В частности, они не ограничены по модулю.

справедливыми и для комплексного случая. Например: sin2 z cos2 z 1 ;

ственных аналогов.

6. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрим функцию w = sin z . Арксинусом числа z C называется число w, удовлетворяющее условию sin w z .

256

§2. Свойства двойного интеграла

Вернемся к переменной w: eiw iz 1 z2 . Логарифмируя, получаем iw Ln(iz 1 z2 ) . Окончательно,

ется многозначной.

Заметим, что в процессе доказательства равенства (9) число z рассматривалось произвольным. Поэтому sin w принимает любое значение из C.

Аналогично вводятся остальные обратные тригонометрические функции и все обратные гиперболические функции. Все они выражаются через логарифмические функции и поэтому являются многозначными.

еперь мы можем определить функции более общей структуры.

Определение 1. Функция комплексной переменной, получаемая из конечного числа основных элементарных функций с помощью конечного числа основных операций, называет-

ся элементарной функцией.

Основным объектом нашего дальнейшего исследования будет являться класс элементарных функций комплексой переменной.

257

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Лекция 27

§4. Предел функции комплексной переменной

Как и в случае вещественных функций начнем исследование пределов для функций частного вида.

1. Предел последовательности комплексных чисел

онятия последовательности действительных чисел и ее предела легко переносятся на случай комплексных чисел.

Определение 1. Функция, определенная на множестве натуральных чисел N, со значениями во множестве комплексных чисел C называется последовательностью комплексных чисел.

Обозначения:

Символическая запись определения предела:

258

§2. Свойства двойного интеграла

Оно означает, что lim zn z0 . n

Импликацию предлагается доказать самостоятельно.►

Замечание. Из теоремы 1 следует, что сходимость комплексной последовательности эквивалентна одновременной сходимости двух вещественных последовательностей. А из ра-

венства (3) вытекает, что все основные свойства веще-

259