MU_LR_VychMat_230400

Тогда формула Симпсона для одного отрезка интегрирования примет вид:

где h b a - половина отрезка интегрирования.

2

8.1.5. Составные квадратурные формулы численного интегрирования

Очевидно, что точность найденного значения интеграла зависит от величины интервала интегрирования. Для повышения точности интегрирования применяют следующий прием. Интервал интегрирования разбивают на ряд подынтервалов, на каждом из которых применяют простую формулу численного интегрирования, а результаты складывают. Полученные таким образом формулы называют составными квадратурными формулами. Для рассмотренных выше случаев составные формулы имеют вид:

1) составные формулы прямоугольников

Формула левых прямоугольников: I h( y0 y1 ... yn 1 )

Формула правых прямоугольников: I h( y1 y2 ... yn )

Формула средних прямоугольников:

71

Следует обратить внимание, что в формуле Симпсона расстояние между узлами в 2 раза меньше, чем в методе прямоугольников или трапеций.

8.1.6. Оценка погрешности численного интегрирования

Существуют теоретические оценки погрешности квадратурных формул, для применения которых требуется знать максимальную на отрезке интегрирования величину модуля производной высокого порядка от подынтегральной функции, что, как правило, неудобно для практических вычислений. Поэтому на практике для оценки погрешности часто используется так называемый метод двойного пересчета, который заключается в следующем.

Интеграл вычисляется дважды: для разбиения на n и 2n подотрезков интегрирования. Результаты таких вычислений обозначим, соответственно, через In и.

-для всего интервала [0;1] ;

-с делением интервала на 4 подынтервала;

Аналитическое вычисление данного интеграла дает

I = arctg(l) – arctg(0) = 0,7853981634.

Решение.

1) Простая формула средних прямоугольников.

2) Составная формула средних прямоугольников с разбиением на 4 подынтервала интегрирования:

Начальные точки подотрезков: x0 0, x1 0,25, x2 0,5, x3 0,75 .

72

Фактическая погрешность: | I I1 | | 0,7853981634 0.783(3) | 0.0021 .

4) Составная формула Симпсона с разбиением на 4 подынтервала интегрирования:

Узлы: x0 0, x1 0.125, x2 0.25, x3 0.375, x4 0.5, x5 0.625, x6 0.75, x7 0.875, x8 1.

интерполяция подынтегральной функцией и алгебраической степенью точности получаемой в результате квадратурной формулы Ньютона-Котеса. Так, формулы прямоугольника (n 0) и трапеции (n 1) имеют алгебраическую степень точности, равную 1, а формула Симпсона (n 2) и правило трех восьмых ( n 3 ) – алгебраическую степень точности, равную 3 и так далее. Т.е. если n - степень интерполяционного полинома, то степень точности квадратурной формула Ньютона-Котеса равна n 1, если n - четное (или 0) и равна n , если n не четное.

Однако для любого n можно построить квадратурные формулы более высокой

73

алгебраической степени точности. Добиться этого можно путем одновременного выбора и коэффициентов квадратурной формулы, и расположения узлов (в отличие от формул Ньютона-Котеса, где узлы были равноотстоящими), что и осуществляется при построении квадратурной формулы Гаусса.

2n 1 определяется 2n коэффициентами, то очевидно, что наивысшая степень точности в общем случае равна m 2n 1.

Для обеспечения равенства (7.11) необходимо и достаточно, чтобы оно было верным для f (t) 1, t, t2 ,...,t2n 1 , т.е. чтобы выполнялись равенства

легко найти как решение линейной системы первых n уравнений из (7.12). Определитель этой системы является определителем Вандермонда и всегда отличен от нуля (при условии, что среди узлов нет совпадающих). Следовательно, коэффициенты dk

определяются однозначно.

Важно, что значения узлов tk и коэффициентов dk не зависят от интегрируемой функции. Их значения вычислены для разных значений k и затабулированы. Ниже приведены некоторые из них.

k 2 , t1 t2 0,577350, d1 d2 1;

k 3 , t1 t3 0,774597, t2 0; d1 d3 0,555555, d2 0,888889;

k 4 , t1 t4 0,861136, t2 t3 0,339981, d1 d4 0,347855, d2 d3 0,652145 .

Квадратурная формула Гаусса на произвольном отрезке [a;b]

Для применения квадратурной формулы Гаусса на произвольном отрезке [a;b]

выполним замену переменных: x a b b a t . 2 2

74

В результате получим:

8.2. ЗАДАНИЕ

Вычислить определенный интеграл ab f (x)dx по следующим формулам:

1)простая формула средних прямоугольников

2)простая формула левых прямоугольников

3)простая формула правых прямоугольников

4)простая формула трапеций

5)простая формула Симпсона

6)составная формула средних прямоугольников

7)составная формула левых прямоугольников

8)составная формула правых прямоугольников

9)составная формула трапеций

10)составная формула Симпсона

11)формула Гаусса с 4-мя узлами

ПРИМЕЧАНИЕ. Для всех составных формул осуществлять разбиение на 4 подотрезка интегрирования. Номера методов и варианты интегралов см. ниже.

75

Результаты вычислений по каждому из методов сравнить с точным решением и вычислить фактическую погрешность.

8.3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ