Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тульский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

MU_LR_VychMat_230400

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

2.14 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

r 3, 2 356,7 0,04811 7,1948 34,56

( в сомножителях все знаки – верные ), погрешности результата.

Решение.

r 0, 2208 .

Относительная погрешность будет равна:

r	0,05	0,05	0,000005	0,005	0,05
	3, 2	356,7	0,04811	34,56	3, 2

определить абсолютную и относительную

0,0156

пренебрегаем ввиду сравнительной малости

Абсолютная погрешность r = r r = 0,2208 0,0156=0,00344 . Ответ : r = 0,2208 ; r = 0,0156 ; r =0,00344 ; rг =0,22 .

Пример 1.8. Вычислить дробь и определить погрешность еѐ вычисления:

V = a1 × a2 × a3 × ...× a6 , b1 ×b2 ×b3 × ...×b6

где

a1 9,61; a2	1,1; a3	7,69; a4	5,613; a5	3,47; a6	2,971
b1 14,72; b2	6,04;	b3 4,942;	b4 2,483;	b5 0,974;	b6 1,124

Все сомножители даны в гарантированной форме записи.

Решение.

Число сомножителей больше десяти (m+n=12) . Искомое значение дроби V 3,938 .

Для отыскания погрешности частного и произведения применим правило Чеботарѐва

(m+n=12 > 10) :


max( ai	; bi ) a2 0,05 /1,1	0,045 ; V	0,045	12 0,16
Ответ :	V 3,938 ; V 0,16 .

Пример 1.9 Вычислить результат и его погрешность, записать результат в гарантированной форме и форме Крылова .

y=(ab)/c +d ;

aã 1,482 ; bê 28,763 ; ñã 3,117 0,0003 ; d 18,907 0,002 .

Решение.

Определим значение y : y 1,482 28,763 18,907 5,231 3,117

Вычисления содержат операции умножения, деления и суммы. Используя соответствующие формулы для определения погрешностей математических операций, получим:

a b c d

| a |

| b |

| c |

1.482 ( 28.763)

0.0005

0.002

0.0003

0.002

3.117

1.482

| 28.763 |

3.117

13,676(3,37 10 4

6,95

10 5

9.62 10 5 )

0,002 0,01

yã

5,2

0,04 ; yã 5,231

5,2 0,01 0,04;

yê

5,23

0,02 ; yê 0,02 5,231 5,23 0,01 0,0011 .

Пример 1.10.

С какими погрешностями будут вычислены

sin(x) и

3 x , если x 0,24 0,01.

Решение.

1) Определяем значение функции y1:

sin

0,24

0,238

; вычисляем погрешности y

| y | x cos(x) x

cos 0,24

0,01

0,971 0,01 0,00971 0,010 ;

y1 y1

| y1 |

0,010 / 0,238 0,042 .

2) Для второй функции будем иметь :

0,24

0,621; y

x 3 x (3| x |) 0,01/ 3 0,24 0,014 ;

y2 y2

0,621 0,014 0,009 .

Ответ: y1 0,042 , y1 0,010 ;y2 0,014 , y2 0,009 .

Пример 1.11. Решить задачу примера 1.9, считая, что величины a,b,c,d переменные .

Решение. Найдѐм погрешность функции нескольких переменных, Применяя общие формулы для определения погрешности значения функции приближенных аргументов :

c d

-28,763

1,482

(-1,482) (-28,763)

0.0005

0.002

0.0003 0.002 0.0089 0,01

3,1172

3,117

Ответ:

yã

5,2

0,04,

yê

5,23

0,02 .

1.1.6. Задачи вычислений

Вычислительные задачи подразделяются на два вида: прямые и обратные. В прямых вычислительных задачах по заданной исходной информации выполняют расчѐты и оценивают погрешность результатов. При этом в зависимости от требований к точности расчѐтов выбирают методы их выполнения, повышенная точность расчѐтов приводит к увеличению их трудоѐмкости. Точность результатов сверху ограничена точностью исходной информации.

При обратной вычислительной задаче заранее задаѐтся точность вычисления результата. Вычислитель обязан обеспечить заданную точность результата путѐм выбора метода вычислений и обеспечения исходной информации заданной точности.

Пример 1.12. Вычислить значение функции

y 6,51x3 2,43x2 1,02x 0,35 , при x 0,931 0,002 .

(коэффициенты 6,51; 2,43; 1,02; 0,35 точные числа).

Определить абсолютную и относительную погрешности вычисления функции. Записать ответ в виде гарантированного результата и в форме Крылова.

Решение.

Задача является прямой вычислительной (задана погрешность исходной информации; необходимо оценить погрешность результата).

Вычисляем значение функции :

y 6,51 0,931 3 2,43 0,931 2 1,02 0,931				0,35	8,659 .
Абсолютная погрешность результата :
y \| y \| x	(3 6,51 x2 2 2,43 x		1,02) x
(3 6,51 0,9312	2 2,43 0,931	1,02) 0,002 0,045
Относительная погрешность		y y/ \| y \| 0,045 / 8,659			0,052 .
Получили y	8,659 0,045 . Округляем число до верных цифр:					y 8,7 .
Абсолютная погрешность округлѐнного числа :
y 0,045	\| 8,659 – 8,7 \|	0,086	0,1;
результат в форме Крылова :		yê	8,7 0,1 .

Гарантированный результат получим округлением исходного числа до одной значащей цифры:

y 9; y		0,045	\| 8,659 9 \| 0,386				0,4; yã	9 0,4 .
Ответ : yã 9 0,4			, yê 8,7	0,1.
Пример 1.13. Вычислить значение функции двух переменных
U ln(x	x 2 )	при x	0,97 и	x	2	1,297	(числа	даны с верными цифрами).
1	2	1			2

Решение. Задача является прямой вычислительной ( случай функции нескольких переменных).

Значение функции:

U ln 0,97

1,2972 ln 2,267

0,818 .

Абсолютная погрешность:

2x22

	1			2 1,2972
			0,005			0,0005=0,00237	0,003
0,97	1,297	2	0,005	0,97 1,297	2	0,0005=0,00237	0,003
0,97	1,297			0,97 1,297

U	U	0,003	0,0037 .
U	\|U \|	0,818	0,0037 .
	\|U \|	0,818
Ответ : U 0,818				0,003; Uã	0,82; Uê	0,82 0,01.

Пример 1.14. С каким числом верных знаков m следует взять значение

аргумента x , чтобы получить значение

функции

y x3sin(x) с относительной

погрешностью не более y

0,1 10 5 , если

2 1,41.

(

1,414213562... ; sin 1,41

0,9871; cos 1,41

0,1601).

Решение.

Задача

является

обратной вычислительной (задана точность

вычисления

результата,

требуется

определить необходимую точность

исходной

информации

Вычислим

предельную

допустимую абсолютную

погрешность

аргумента, предварительно оценив допустимую абсолютную погрешность функции и значение производной функции (в первом приближении возьмѐм x 1,41 ) :

| y | y

| x3sin x | y

| 1,41 3 sin 1,41 | 0,1 10 5

1,41 3 0,9871 0,1 10 5

2,8 10 6

x3sin

3 x2sin

x3cos

3 1,41 2

sin 1,41

1,41 3

cos 1,41

3 1,41 2

0,9871

1,41 3 0,1601

6,34

Предельная допустимая погрешность аргумента будет равна:

2,8 10 6

0,442 10 6

| y

6,34

Попробуем взять аргумент с 7 ю цифрами после запятой :

|1,414213562 – 1,414214|

0,000000438 .

Последнее означает, что при значении аргумента, взятом с 7 – ю верными

цифрами,

достигается требуемая точность вычисления значения функции.

Ответ :

n = 7.

Пример 1.14. Радиус основания цилиндра R = 2м, высота цилиндра H = 3м. С какими допустимыми абсолютными погрешностями нужно определить R и H и со сколькими верными цифрами взять число , чтобы объѐм цилиндра V можно было вычислить с погрешностью не более V = 0,1м3 ? ( = 3,141592653 ). При решении использовать ―принцип равных влияний ‖, согласно которому предельные абсолютные погрешности аргументов x1, x2, , xn функции нескольких переменных U = (x1, x2, , xn) находятся по формуле :

xi	U

	n \| U /	xi	\|
	n \| U /	xi	\|

Решение. Задача является обратной вычислительной (случай функции нескольких переменных ). Имеем V = R2H ( т. е. объѐм цилиндра V = ( , R, H ) функция трѐх переменных ). Полагая R = 2м, H = 3м, = 3,14, приближѐнно получаем :

V/ = R2H = 12; V/ R = 2 RH = 37,7; V/ H = R2 =12,6.

Отсюда,		так как n = 3, будем иметь:
		V	0,1	0,0028 ;
	n \| V / \|		3 12


			V			0,1
R							0,00088 ;
	n \| V / R \|			3 37,7
			V			0,1
H							0,0026 .
		n \| V / H \|			3 12,6
Возьмѐм число с						3 мя верными цифрами :
			* 3,14 .
Тогда			* \| 3,14159253 – 3,14 \| 0,0016 .
Ответ :			R 0,00088; H 0,0026; m 3 .

1.2.ЗАДАНИЕ

1.Определить количество верных значащих цифр числа a , его относительную погрешность и сравнить полученное значение с оценкой предельной абсолютной погрешности в соответствии с теоремой 1.1.

2.Вычислить значение выражения, определить погрешности результата. Результат записать в гарантированной форме и в форме Крылова.

1) выражение: y ai

2) выражение y i

a1 32.454 , a2 25.27 0.004 , a3 4.115, a4 5.3 0.03 , a5 1.48 ,

a6 2.54 0.002 , a7 17.6 , a8 6.21 0.003 , a9 7.2 0.01 , a10 12.36 a12 9.88 , a13 14.7 0.01, a14 0.44 0.003 , a15 5.16

b1 6.56 , b2 12.3 , b3 1.0 0.04 , b4 6.38 0.002 , b5 24.17 , b6 3.641, b7 9.88 , b8 14.7 0.01 , b9 0.44 0.003, b10 5.16

3. Вычислить значение выражения в соответствии с вариантом, от приближенных значений аргументов a a1 ,b a2 ,c a3 . Определить погрешности и записать результат в гарантированной форме в форме Крылова.

Погрешности оценивать двумя способами:

1) в соответствии с правилами определения погрешностей математических операций 2) в соответствии с общими правилами вычисления погрешностей значения функции

при приближенных значениях аргументов.

4.	Катеты прямоугольного треугольника, являющегося основанием призмы, равны
a и b ,	высота призмы равна h . С	какими	допустимыми	абсолютными	погрешностями
нужно	взять a , b и h , чтобы	объѐм	призмы V	можно было	вычислить с

погрешностью не более V = 0,1м3? При решении использовать ―принцип равных влияний ‖.

1.3. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

№

Задачи 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

выражение

a (м)

b (м)

h (м)

4.356

1) ai

: i 12,...,15 ,

2a b

2) ai

: i 4,...,10, bj

: j 6,...,9

1.37 10 4

1) ai

: i 4,...,15 ,

4a bc

2) ai

: i 6,...,8, bj

: j 4,...,7

7.9 0.03

1) ai

: i 7,...,10 ,

2ac b2

2) ai

: i 2,...,5, bj

: j 1,...,8

12.356 0.0002

1) ai

: i 3,...,14 ,

a b2c

2) ai

: i 10,...,13, bj

: j 4,..,6

87.64

1) ai

: i 8,...,11,

3abc c

2) ai

: i 7,...,12, bj

: j 5,...,9

2.37 0.004

1) ai

: i 5,...,9 ,

2a b2

2) ai

: i 1,...,6, bj

: j 3,...,7

15.43 0.003

1) ai

: i 1,...,12 ,

a b 2

2) ai

: i 2,...,4, bj

: j 5,6

356.0 0.01

1) ai

: i 1,..., 4 ,

3 a b 2

2) ai

: i 3,...,7, bj

: j 2,...,7

487.6

1) ai

: i 3,...,13 ,

2b a

2) ai

: i 8,...,10, bj

: j 1, 2

ac2

2.371 0.0001

1) ai

: i 2,...,13 ,

a c2

2) a : i 12,...,15, b

: j 1,..,3

154 0.4

1) ai

: i 5,...,8 ,

2(a c2 )

2) ai

: i 10,...,14, bj

: j 1,...,6

672

1) ai

: i 3,...,13 ,

2(a c)2

2) a : i 8,...,10, b

: j 6,7

25.6 10 3

1) ai

: i 1,..., 4 ,

a (c b)2

2) ai

: i 4,...,8, bj

: j 3,...,8

326.05 0.004

1) ai

: i 4,...,15 ,

3ab c

2) ai

: i 3,...,5, bj :

j 1,...,4

4.65 0.003

1) ai

: i 2,...,5,

ab 2c

2) ai

: i 6,...,11, bj

: j 5,...,10

35.43 0.001

1) ai

: i 3,...,14 ,

abc 3c

2) ai

: i 8,...,10, bj

: j 5,6

316.9 0.02

1) ai

: i 3,...,6 ,

2c (a b)2

2) a : i 4,...,8, b

: j 4,...,9

487.698

1) ai

: i 1,...,12 ,

5ab c

2) ai

: i 13,...,15, bj : j 1, 2

4.346

1) ai

: i 7,...,10 ,

3(a2 c2 )

2) a : i 1,...,7, b

: j 7,...,10

1.5 10 5

1) ai

: i 3,...,13 ,

2a3 b2

2) ai

: i 8,...,10, bj

: j 6,7

17.3 0.04

1) ai

: i 12,...,15 ,

4b a

2) ai

: i 4,...,10, bj

: j 6,...,9

ac2

42.294 0.0004

1) ai

: i 4,...,15 ,

3c b3

2) a : i 6,...,9, b

: j 5,...,7

349.349

1) ai

: i 7,...,10 ,

4a b2c

2) a : i 2,...,5, b

: j 3,...,10

2.476 0.0003

1) ai

: i 3,...,14 ,

2a2c b2

2) ai

: i 10,...,13, bj : j 6,..,8

457 0.2

1) ai

: i 1,..., 4 ,

a b2c

2) a : i 1,...,6, b

: j 3,...,7

624.7

1) ai

: i 1,...,12 ,

2abc 1

2) ai

: i 11,...,14, bj : j 7,...,9

24.61 10 4

1) ai

: i 6,...,9 ,

a2 6c2

2) ai

: i 8,...,12, bj

: j 1,...,6

3.86 0.002

1) ai

: i 3,...,13 ,

2(a bc)

2) ai

: i 8,...,10, bj

: j 5,6

4.38 0.002

1) ai

: i 12,...,15 ,

2(b c)2

2) a : i 1,...,7, b

: j 7,...,10

75.42 0.004

1) ai

: i 4,...,15 ,

ab 3bc

2) ai

: i 12,...,15, bj : j 1,..,3

1.4.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется абсолютной погрешностью числа? Как она определяется?

2.Что называется относительной погрешностью числа? Как она определяется?

3.Что понимается под предельной абсолютной погрешностью и как она определяется?

4.Что понимается под предельной относительной погрешностью и как она определяется?

5.Что больше: абсолютная погрешность суммы или абсолютная погрешность разности?

6.Что больше: относительная погрешность суммы или относительная погрешность разности?

7.Перечислите возможные источники устранимых и неустранимых погрешностей.

8.Укажите возможные способы организации вычислений, позволяющие уменьшить погрешность результата.

9.Каким способом можно определить погрешность.

10.В каком случае значащая цифра числа называется верной?

2.ВВЕДЕНИЕ В МATHCAD

2.1.1.Интерфейс Mathcad

Интерфейс Mathcad по своей структуре аналогичен интерфейсу других Windowsприложений. Далее описывается интерфейс Mathcad 14. В других версиях Mathcad внешний вид и содержание панелей и окон немного отличаются от указанных ниже.

Рабочее окно Mathcad

При открытии файла Mathcad.exe на экране появляется рабочее окно Mathcad с главным меню и 5-ю панелями: Standard (Стандартная), Formatting (Форматирование) и Math (Математическая), Controls (Контроль), Resources (Документация) (рис. 1).

Автоматически загружен файл Untitled 1 (Безымянный 1), представляющий собой шаблон Normal (обычный) рабочего документа Mathcad, называемого Worksheet (Рабочий лист). Кроме того, автоматически загружаются окно Tip of the day (Совет дня) и окно Mathcad Resource (Документация Mathcad). Перед началом работы их надо закрыть.

Рис. 1 - Вид рабочего окна Mathcad после загрузки

Чтобы впредь это окно не появлялось на экране «без спроса» в главном меню Mathcad (верхняя строчка команд на рис. 1) выберите Tools Preference (ИнструментыПредпочтение), снимите флажок у пункта Show Mathcad tips at startup.

2.1.2. Главное меню

Главное меню Mathcad занимает верхнюю строку рабочего окна. Оно не зря называется главным. Все необходимые действия можно выполнить, следуя пунктам этого меню и последовательно открывающихся окон. Вид главного меню показан на рис. 3. Щелчок мышью на любом пункте меню открывает подменю с перечнем команд.

Помимо типовых для многих программ пунктов меню, таких как File (Файл), Edit

(Правка), View (Вид), Insert (Вставка), Format (Форматирование), Windows (Окно) и Help (Помощь) главное меню MathCad14 содержит пункты

-Tools (Инструменты) – команды управления вычислительным процессом и

-Symbolics (Символические вычисления) — команды символьных вычислений.

2.1.3. Панели инструментов

Панели инструментов служат для быстрого выполнения наиболее часто применяемых команд. Управлять видимостью панелей можно через меню View/Toolbars. Одной из основных панелей является математическая панель (Math), которая служит для вставки математических символов и операторов в документы. Математическая панель со всеми остальными панелями инструментов показана на рис. 4. Щелчок мышью на любом из значков данной панели управляет появлением/скрытием дополнительных панелей, показанных (рис.2):

1.Calculator (Калькулятор) — вставка шаблонов основных математических операций, цифр, знаков арифметических операций.

2.Graph (График) — вставка шаблонов графиков.

3.Matrix (Матрица) — вставка шаблонов матриц и матричных операций.

4.Evaluation (Оценка) — операторы присвоения значений и вывода результатов расчета.

5.Calculus (Вычисления) — вставка шаблонов дифференцирования, интегрирования, суммирования.

6.Boolean (Булевы операторы) — вставка логических (булевых) операторов.

7.Programming (Программирование) — операторы, необходимые для создания программных модулей.

8.Greek (Греческие буквы).

9.Symbolics (Символика) — вставка операторов символьных вычислений.

Рис. 2 - Математическая панель

2.1.4.Построение выражений и их вычисление

Врабочем документе введите какие-либо буквенные выражения и присвойте им численные значения. Имя выражения (все, что стоит слева от оператора присваивания)

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
20.09.2019817.66 Кб24MU_LR.doc
#
16.03.20166.23 Mб249MU_LR_IiIKT.doc
#
10.05.2015937.98 Кб62MU_LR_MS.doc
#
08.11.20191.67 Mб6MU_LR_SD.doc
#
13.08.2019389.12 Кб2MU_LR_SPO.doc
#
10.05.20152.14 Mб17MU_LR_VychMat_230400.pdf
#
10.05.2015403.46 Кб20MU_LR_YaiMP_1sem (1).doc
#
10.05.2015196.08 Кб6MU_po_kursovoy_rabote Зубцова.rtf
#
10.05.20152.05 Mб239MU_PR.doc
#
16.03.2016425.98 Кб146MU_praktika_IiIKT.doc
#
10.05.2015307.76 Кб442MU_PR_EMP_2011.docx