3.1 Матричная экспонента

Другой метод решения линейных систем с постоянными коэффициентами основан на использовании в качестве фундаментальной матрицы матричной экспоненты Матрицаопределяется как сумма ряда

Если матрица найдена, то решение системы (3.1) с начальным условиемимеет вид.

Для отыскания матрицы могут быть применены различные приемы, в зависимости от структуры спектра матрицы.

1. Если все собственные значения матрицы– действительные различные числа, то матрицуудобно находить так:

, (3.6)

где (матрица, составленная из столбцов координат собственных векторов матрицыА), а

.

2. Если среди различных собственных значений матрицы А имеются комплексные, то матрица в вещественной форме может быть найдена с помощью следующего приема: нужно найти общее решение системы (3.1) так, как это было описано выше, а потом составить матрицу,i-ым столбцом которой будет решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям ,.

Пример 4. Для матрицы системы из примера 2 найти .

Решение. Составим матрицу из столбцов координат собственных векторов матрицы:

.

Тогда

.

Пример 5. Для матрицы найти.

Решение. Собственные значения матрицы – комплексно сопряженные числа. Собственный вектор, соответствующий

.

Имеем:

Поэтому общее решение линейной системы (3.2) с заданной матрицей имеет вид

Найдем, сначала частное решение, удовлетворяющее условию . Оно будет иметь вид

Частное решение, удовлетворяющее условиям ,имеет вид

Поэтому

.

3. Если среди собственных значений матрица имеются кратные, то следует отыскать матрицу, приводящую матрицук жордановой форме:

.

Жорданова клетка , соответствующая корню кратности ,имеет вид

.

Для такой клетки легко находится

. (3.7)

Проведя такие построения для каждой клетки Жордана, находим .Тогда .

Пример 6. Вычислить матрицу , если.

Решение. Собственные значения данной матрицы . Так как ранг матрицыравен 1, то жорданова форма матрицыА имеет вид . Матрицу, приводящую матрицуА к жордановой форме, найдем из уравнения . Пусть. Тогда для отыскания элементов матрицы получим уравнение

.

Это матричное уравнение эквивалентно системе

,

решение которой следующее: . Итак,

.

Согласно формуле (3.7) . Поэтому

(3.8)

3.2. Формула Коши

Решение неоднородной системы с постоянными коэффициентами

, (3.9)

удовлетворяющее начальному условию , может быть выражено через экспоненциал матрицы системы по формуле

(3.10)

Если решение системы (3.9) записано в виде (3.10), то говорят, что оно записано в форме Коши.

Пример 7. Найдя матрицу , записать решение системы

в форме Коши.

Матрица для рассматриваемой системы уже была найдена в предыдущем примере, и она имеет вид (3.8). Согласно формуле (3.10), можем записать

Задание 12

Решить линейную систему путем сведения ее к одному уравнению высшего порядка

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

25. 

26. 

27. 

28. 

29. 

30. 

31.