ГДс Математика 2011

Разделы дисциплины

количе-

Компетенции

Общее коли-

ство ча-

ПКН-1

ПКН-2

чество компе-

сов

тенций

1.

Линейная алгебра

20

+

+

2

2.

Векторная алгебра

20

+

+

2

3.

Аналитическая геометрия

24

+

+

2

4.

Введение в анализ

20

+

+

2

5.

Дифференциальное исчис-

ление функции одной пере-

40

+

+

2

менной

6.

Дифференциальное исчис-

ление функции нескольких

20

+

+

2

переменной

7.

Интегральное исчисление

40

+

+

2

функции одной переменной

8.

Кратные интегралы

20

+

+

2

9.

Теория функций комплекс-

24

+

+

2

ного переменного

10. Дифференциальные урав-

40

+

+

2

нения

11. Численные методы реше-

20

ний алгебраических и диффе-

+

+

2

ренциальных уравнений

12. Теория вероятностей

72

+

+

2

4

13. Математическая статисти-

72

+

+

2

ка

Итого

432

26

Неделя

Раздел дисциплины, темы лекций и их со-

Объём в часах

семестра

держание

Очное

Заочное

1

2

3

4

I семестр

Введение в дисциплину

1. Линейная алгебра

1.1. Определители второго и третьего по-

1

рядка, их свойства. Вычисление определи-

2

2

телей разложением по строке (столбцу).

Системы линейных алгебраических уравне-

ний. Правило Крамера, метод Гаусса [1, 2,

4].

2. Векторная алгебра

2.2. Векторы, линейные операции над ними.

Проекция вектора на ось. Основные теоре-

мы о проекциях. Линейная зависимость

2

векторов. Базис. Разложение вектора в де-

2

-

картовом базисе. Длина вектора и направ-

ляющие косинусы. Нормированный вектор

[4, 8].

2.3. Скалярное произведение векторов, его

свойства. Угол между векторами. Условие

ортогональности

векторов. Механический

3

смысл скалярного произведения. Векторное

2

-

произведение векторов, его свойства. Усло-

вие коллинеарности двух векторов. Сме-

шанное произведение векторов, его свойст-

ва. Условие компланарности трех векторов

[4, 8].

3. Аналитическая геометрия

3.4. Различные формы уравнений прямой на

плоскости. Угол между прямыми. Условия

параллельности

и перпендикулярности.

Расстояние от точки до прямой. Кривые

второго порядка: окружность, эллипс, ги-

5

4

пербола, парабола, их геометрические свой-

2

2

ства и уравнения. Приведение уравнений к

каноническому виду. Полярные координа-

ты. Связь между полярными и декартовыми

координатами. Уравнение линий в поляр-

ных координатах

[1, 2, 3, 4].

3.5. Уравнения плоскости и прямой в про-

5

странстве. Взаимное расположение прямых

2

-

и плоскостей. Уравнения поверхностей в

пространстве. Цилиндрические поверхно-

сти. Сфера. Конусы. Эллипсоид. Гипербо-

лоиды. Параболоиды [1, 2, 3, 4].

4. Введение в математический анализ

4.6. Функции одной переменной. Область

определения и множество значений функ-

6

ции. Способы задания функции. Сложная и

1

-

обратная функции. Основные элементарные

функции и их свойства [4, 7].

4.7. Числовые последовательности. Спосо-

бы задания числовых последовательностей.

Прогрессии. Предел последовательности.

Единственность предела. Ограниченность

сходящейся последовательности. Предель-

6

ный переход в неравенствах. Бесконечно

1

-

малые и бесконечно большие последова-

тельности. Свойства пределов. Монотонные

последовательности. Теорема о существо-

вание предела монотонной ограниченной

последовательности. Число е [4, 7].

4.8. Окрестность точки. Предел функции в

точке. Свойства пределов функции. Различ-

ные типы пределов: односторонние преде-

лы, бесконечные пределы, пределы в бес-

7

конечности. Бесконечно малые и бесконеч-

1

-

но большие функции и их свойства. Срав-

нение бесконечно малых функций. Эквива-

лентные функции. Первый и второй замеча-

тельные пределы [4, 7].

4.9. Непрерывность функции в точке и на

интервале. Непрерывность функции в точке

слева и справа. Непрерывность сложной

функции. Свойства непрерывных функций.

6

7

Точки разрыва функции и их классифика-

1

-

ция. Свойства функций непрерывных на

замкнутом интервале: теоремы о существо-

вании корня; о промежуточных значениях;

об ограниченности функции; о достижении

наибольшего и наименьшего значений

[4, 7].

5. Дифференциальное исчисление функции

одной переменной

5.10. Производная функции и её геометри-

ческий смысл. Уравнение касательной к

графику. Дифференциал функции. Связь

между дифференцируемостью

функции и

непрерывностью.

Производные

основных

8

элементарных функций. Правила диффе-

2

2

ренцирования суммы, произведения и част-

ного функций. Производная сложной и об-

ратной функции.

Производная функции за-

данной неявно. Логарифмическое диффе-

ренцирование [4, 7].

5.11. Производные высших порядков. Тео-

ремы о дифференцируемых функциях: пра-

9

вило Лопиталя; терема Ферма; теоремы

1

-

Ролля, Лагранжа и Коши [4, 7].

5.12. Монотонные функции. Необходимые

и

достаточные

условия монотонности

функций. Локальный экстремум функции.

Необходимое условие локального экстре-

9

мума. Критические точки функции. Доста-

1

-

точные условия существования локального

экстремума [4, 7].

5.13. Выпуклые и вогнутые функции, точки

перегиба. Достаточные условия выпуклости

10

и вогнутости функции. Необходимые и дос-

1

-

таточные условия существования точки пе-

региба. Вертикальные и наклонные асим-

птоты графика функции [4, 7].

10

5.14. Общая схема исследования функции и

1

-

построения её графика [4, 7].

6. Дифференциальное исчисление функции

нескольких переменных

6.15. Понятие функции нескольких пере-

менных. Область определения. Поверхно-

11

сти

(линии) уровня функции

нескольких

2

-

7

переменных. Предел и непрерывность

функции нескольких переменных [5].

6.16. Частные производные. Полный диф-

ференциал, дифференцируемость функции

нескольких переменных. Частные произ-

12

водные высших порядков. Смешанные про-

2

2

изводные. Производная по направлению,

градиент. Свойства градиента. Уравнение

касательной плоскости [5].

6.17. Локальный экстремум функции не-

скольких переменных. Необходимые усло-

13

вия существования экстремума. Критиче-

2

-

ские точки. Достаточные условия сущест-

вования экстремума функции двух пере-

менных [5].

26

8

II семестр

7. Интегральное исчисление функции одной

переменной.

7.1. Первообразная и неопределённый инте-

грал. Свойства неопределённого интеграла.

1

Таблица интегралов. Замена переменной в

2

-

неопределённом интеграле. Формула ин-

тегрирования по частям [5, 7].

2

7.2. Интегрирование рациональных дробей

2

-

[5, 7].

3

7.3. Определённый интеграл и его свойства.

1

2

Интеграл с переменным верхним пределом.

3

Формула Ньютона-Лейбница [5, 7].

1

-

7.4. Замена переменной в определённом ин-

теграле, интегрирование по частям [5, 7].

7.5. Геометрический смысл определённого

интеграла. Нахождение площади плоской

4

фигуры. Несобственные интегралы от не-

2

-

прерывных функций на неограниченном

интервале и от неограниченных функций на

ограниченном интервале [5, 7].

8. Кратные интегралы

8.6. Двойной и тройной интеграл, их свой-

5

ства. Вычисление кратных интегралов по-

2

2

вторным интегрированием [6, 9].

8.7. Приложения кратных интегралов в гео-

6

метрии (объем тел, площади поверхностей)

2

-

и физике (моменты, центры тяжести фигур

8

и тел) [6, 9].

9. Теория функций комплексного перемен-

ного

9.8. Действия над комплексными числами.

Алгебраическая и геометрическая форма

7

комплексного числа. Геометрическая иллю-

2

-

страция комплексных чисел [5].

9.9. Функции комплексного переменного.

8

Элементарные функции. Дифференцируе-

2

-

мость и аналитичность функций комплекс-

ной переменной [5].

10. Дифференциальные уравнения

10.10.

Обыкновенные дифференциальные

уравнения первого порядка. Общее и част-

ное решения, особое решение. Общий инте-

9

грал дифференциального уравнения. Инте-

1

-

гральные кривые. Начальные условия. Тео-

рема коши существования и единственно-

сти решения дифференциального уравнения

первого порядка [5, 9].

10.11. Основные типы дифференциальных

уравнений первого порядка и методы их

9

решения: с разделяющимися переменными,

1

2

однородные, линейные, Бернулли [5, 9].

10.12. Дифференциальные уравнения выс-

ших порядков. Дифференциальные уравне-

10

ния высших порядков, допускающие пони-

2

-

жение порядка [5, 9].

10.13. Линейные дифференциальные урав-

нения второго порядка с постоянными ко-

11

эффициентами и их свойства. Структура

2

-

общего решения. Нахождение общего ре-

шения однородного уравнения [5, 9].

10.14. Нахождение частного решения ли-

12

нейного неоднородного уравнения с правой

2

-

частью специального вида методом неопре-

делённых коэффициентов [5, 9].

13

11. Численные методы решений алгебраи-

2

-

ческих

и дифференциальных уравнений

[12].

26

6

III семестр

12. Теория вероятностей

12.1. Пространство элементарных событий.

9

1

Алгебра событий. Классическое и геомет-

2

-

рическое определение вероятности. Комби-

наторика [10, 11].

12.2. Вероятность суммы и произведения

2

событий. Условная вероятность. Независи-

2

2

мые события. Формулы полной вероятно-

сти и Байеса [10, 11].

12.3. Повторные независимые испытания.

3

Формулы Бернулли, Пуассона, Муавра-

2

-

Лапласа [10, 11].

12.4. Дискретные случайные величины. Ряд

4

и функция распределения. Математическое

2

-

ожидание и дисперсия дискретной случай-

ной величины [10, 11].

12.5. Основные законы распределения дис-

5

кретных случайных величин: равномерный,

2

-

биномиальный, Пуассона [10, 11].

12.6. Непрерывные случайные величины.

Функция распределения, плотность распре-

6

деления, их свойства. Математическое

2

2

ожидание и дисперсия непрерывной слу-

чайной величины [10, 11].

12.7. Основные законы распределения не-

7

прерывных случайных величин: равномер-

2

-

ный, показательный, нормальный [10, 11].

13. Математическая статистика

13.8. Предмет математической статистики.

8

Основные понятия. Точечная оценка пара-

2

-

метров распределения случайных величин

[10, 11].

9

13.9. Интервальная

оценка параметров

2

-

распределения случайных величин. Дове-

рительный интервал и доверительная веро-

ятность [10, 11].

10

13.10. Проверка статистических гипотез.

2

-

Основные понятия. Проверка гипотез о ра-

венстве математических ожиданий и дис-

персий нормально распределенных случай-

ных величин. Критерий Пирсона. Проверка

принадлежности наблюдаемого

значения

признака генеральной

совокупности [10,

11, 12

11].

4

2

13.11. Парная линейная регрессия. Коэффи-

циент корреляции, его свойства.

Линеари-

10