ГДс Математика 2011

Индивидуальные домашние задания (ИДЗ) из задач, общих для всех студентов, и заданий индивидуальных для каждого студента. Источником для индивидуальных заданий служат учебно-методические разработки и задачники количеством различных вариантов не менее 25.

4.5. Распределение трудоёмкости изучения дисциплины «математика» по видам учебной аудиторной и самостоятельной работы студента заочной формы обучения (трудоёмкость изучения дисциплины 12 З.Е.)

В первом семестре студенты выполняют контрольную работу № 1, которая включает в себя 5 заданий по темам: линейная и векторная алгебра; аналитическая геометрия; дифференциальное исчисление.

21

Во втором семестре студенты выполняют контрольную работу № 2, которая включает в себя 5 заданий по темам: интегральное исчисление; теория функций комплексного переменного; дифференциальные уравнения.

В третьем семестре студенты выполняют контрольную работу № 3, которая включает в себя 5 заданий по темам: теория вероятностей и математическая статистика.

22

5. Образовательные технологии

Всоответствии с требованиями ФГОВ ВПО по достижению главной цели ООП о готовности выпускника к профессиональной деятельности при изучении дисциплины «математика» предлагаются следующие активные и интерактивные формы учебного процесса:

- обсуждение изучаемого теоретического материала и выбора на его основе методов решения поставленных задач;

- обсуждение и разбор вопросов и ошибок на практических занятиях, возникших при выполнении индивидуальных домашних заданий;

- подготовка докладов на ежегодную апрельскую конференцию; - тестирование (компьютерное и письменное) (12 часов); - разбор конкретных примеров (10 часов);

- выступление каждого студента по крайней мере один раз в семестре в роли обучающего на практическом занятии (28 часов).

Вцелом интерактивные формы занимают 50 часов, то есть 21,4 % от общего числа аудиторных занятий, что соответствует требованиям ФГОС.

6. Оценочные средства для промежуточной аттестации

6.1. Перечень контрольных вопросов к экзамену. I семестр.

1. Метод Гаусса решения системы линейных уравнений.

2. Метод Крамера решения системы линейных уравнений.

3. Базис на плоскости и в пространстве. Прямоугольный декартов базис. Разложение вектора по базису.

4. Скалярное произведение и его свойства. Выражение скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов.

23

5. Векторное произведение и его свойства. Выражение векторного произведения через координаты перемножаемых векторов.

6. Смешанное произведение и его свойства. Выражение смешанного произведения через координаты перемножаемых векторов.

7. Нормальный вектор прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору.

8. Направляющий вектор прямой. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

9. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Расстояние от точки до прямой.

10. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору.

11. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Векторное и параметрические уравнения прямой.

12.Предел последовательности и его свойства. Единственность предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Свойства пределов.

13.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, их свойст-

ва.

14.Монотонные последовательности. Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности. Число е.

15.Окрестность точки. Предел функции. Свойства пределов функций.

16.Различные типы пределов: односторонние пределы, пределы в бесконечности, бесконечные пределы.

17.Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные функции.

18.Первый и второй замечательные пределы.

19.Непрерывность функции слева и справа. Точки разрыва функции, их классификация.

20.Производная функции, и её геометрический смысл. Уравнение касательной прямой к графику.

21.Производные основных элементарных функций.

22.Правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Дифференцирование сложной и обратной функции.

23.Производная функции, заданной неявно. Логарифмическое дифференцирование.

24.Теоремы о дифференцируемых функциях: правило Лопиталя, теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши.

25.Монотонные функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Локальный экстремум. Необходимое условие локального экстремума. Критические точки. Достаточные условия локального экстремума.

26.Выпуклые и вогнутые функции, точки перегиба. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функции. Необходимые и достаточные условия существования точки перегиба.

24

27.Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Общая схема полного исследования функции и построение её графика.

28.Частные производные. Частные производные первого порядка. Частные приращения функции. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных. Частные производные высших порядков. Смешанные частные производные. Теорема о смешанных частных производных, отличающихся порядком дифференцирования.

29.Полный дифференциал функции нескольких переменных. Полное приращение функции. Определение функции, дифференцируемой в точке. Полный дифференциал. Теоремы, устанавливающие связь между существованием частных производных и дифференцируемостью функции. Приложение полного дифференциала к приближённым вычислениям. Понятие абсолютной и относительной погрешности.

30.Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в ограниченной замкнутой области. Метод наименьших квадратов.

IIсеместр

1.Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица неопределённых интегралов.

2.Свойства неопределённого интеграла.

3.Замена переменной в неопределённом интеграле.

4.Интегрирование по частям.

5.Интегрирование рациональных функций.

6.Определённый интеграл и его свойства.

7.Интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

8.Замена переменной в определённом интеграле.

9.Интегрирование по частям в определённом интеграле.

10.Геометрический смысл определённого интеграла. Вычисление площади плоской фигуры.

11.Вычисление длины дуги кривой.

12.Вычисление объёма тела вращения.

13.Вычисление объёма тела по известной площади поперечного сечения.

14.Несобственные интегралы от разрывных функций.

15.Несобственные интегралы по неограниченному отрезку интегрирования.

16.Двойной интеграл. Задачи, приводящиеся к двойному интегралу. Свойства двойного интеграла.

17.Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

18.Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.

19.Приложения двойного интеграла. Объём. Масса. Статические моменты. Координаты центра тяжести. Моменты инерции.

25

20.Тройной интеграл. Задача о массе. Свойства тройного интеграла. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах. Приложения тройного интеграла. Объём. Масса. Статические моменты. Координаты центра тяжести. Моменты инерции.

21.Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие общего и частного решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения. Задача Коши.

22.Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Линейные уравнения. Метод Бернулли и метод вариации произвольной постоянной для решения линейных уравнений. Уравнение в полных дифференциалах. Уравнение Бернулли.

23.Дифференциальные уравнения второго порядка. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка. Задача Коши. Общее и частное решения дифференциального уравнения второго порядка.

24.Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.

25.Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Структура общего решения однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.

26.Метод подбора формы частного решения для решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

27.Метод вариации произвольных постоянных.

28.Действия над комплексными числами. Алгебраическая и геометрическая форма комплексного числа. Геометрическая иллюстрация комплексных чисел.

29.Функции комплексного переменного. Дифференцируемость и аналитичность функций комплексной переменной.

30.Численные методы решений алгебраических и дифференциальных уравнений.

IIIсеместр

1.Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Классическая вероятность. Элементы комбинаторики.

2.Геометрическая вероятность.

3.Вероятность суммы и произведения событий. Условная вероятность. Независимые события.

4.Формулы полной вероятности и Байеса.

26

5.Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли.

6.Формула Пуассона.

7.Локальная формула Муавра-Лапласа.

8.Интегральная формула Лапласа.

9.Дискретные случайные величины. Ряд и функция распределения.

10.Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины.

11.Основные законы распределения дискретных случайных величин. Равномерный закон распределения.

12.Биномиальный закон распределения.

13.Закон распределения Пуассона.

14.Непрерывные случайные величины. Функция распределения, плотность распределения, их свойства.

15.Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величи-

ны.

16.Основные законы распределения непрерывных случайных величин: равномерный закон распределения.

17.Показательный закон распределения.

18.Нормальный закон распределения.

19.Точечная оценка параметров распределения случайных величин.

20. Интервальная оценка параметров распределения случайных величин. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

21.Доверительный интервал для математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении.

22.Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестном среднем квадратическом отклонении.

23.Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения.

24.Проверка статистических гипотез. Основные понятия.

25.Проверка гипотез о равенстве математических ожиданий нормально распределенных случайных величин.

26.Проверка гипотез о равенстве дисперсий нормально распределенных случайных величин.

27.Критерий Пирсона. Проверка принадлежности наблюдаемого значения признака генеральной совокупности.

28.Парная линейная регрессия. Линеаризующие преобразования.

29.Коэффициент корреляции, его свойства.

30.Парная нелинейная регрессия. Индекс детерминации и корреляционное отношение.

6.2.Индивидуальные задания.

Индивидуальные задания студенты решают дома и защищают во время практических занятий по каждому из изучаемых разделов в количестве не более 26 в семестре.

Примеры индивидуальных заданий. I семестр.

27

2. Исследовать, будет ли система уравнений совместна и в случае совме-

Показать, что векторы a,b,c образуют базис и найти координаты вектора e в этом базисе.

4. Даны две силыF1 1, 1,3 ;F2 2,0, 3 , приложенные к точке

A 4,3,6 . Найти величину и направляющие косинусы момента равнодейст-

вующей этих сил относительно точкиB 0,1,2 .

A1A2A3 . A1 1,3,0 ;A2 3, 1,4 ;A3 2,5,6 ;A4 0,4, 2 .

8. Найти пределы.

9. Найти дифференциалы данных функций.

28

10. Провести полное исследование данной функции и начертить её гра-

фикy x4 3 . x

11. Дана функция z x2 3xy y2 и две точки A x0 , y0 и B x1 , y1 A 3,1 , B 3,05;1,02 . Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближённое значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности

D

6. Вычислить площадь плоской области D, ограниченной заданными ли-

ниями: D :y2 4x,x y 3,y 0.

7. С помощью двойного интеграла вычислить в полярных координатах площадь плоской фигуры, ограниченной линией:

2 2 2 2 2 2 x y a 4x y .

29