Теория вероятностей

1

Контрольная работа № 3 составлена в соответствии с программой курса žМатематика¤ для студентов 2 курса (3 семестр) направлений подготовки бакалавров 190601.62 žАвтомобили и автомобильное хозяйство¤, 151901.62 žТехнология машиностроения¤ и 270800.62 žСтроительство¤ профилей: 270801.62 žПромышленное и гражданское строительство¤, 270804.62 žВодоснабжение и водоотведение¤ и 270815.62 žАвтомобильные дороги¤ заочной формы обучения

Номера задач контрольной работы студент должен выбрать по таблице žВыбор номеров контрольных задач¤ следующим образом:

найти строку, соответствующую первой букве фамилии;

найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;

на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольной работы № 3.

Контрольная работа, выполненная не по своему варианту, возвращается непроверенной.

Таблица 1

2

ПРОГРАММА 2 КУРСА (3 СЕМЕСТР)

Рабочая программа дисциплины žМатематика¤ составлена в соответствии с ФГОС ВПО и примерной ООП подготовки бакалавров направлений 190601.62 žАвтомобили и автомобильное хозяйство¤, 270815.62 žАвтомобильные дороги¤ и 151901.62 žТехнология машиностроения¤ заочной формы обучения.

1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

1.Элементы комбинаторики. Понятия перестановок, размещений, сочетаний и подсчет их числа.

2.Алгебра событий. Пространство элементарных событий и вероятность. Классическая, геометрическая и статистическая вероятность.

3.Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Полная вероятность и формула Байеса.

4.Дискретные и непрерывные случайные величины и способ их задания. Числовые характеристики случайных величин.

5.Законы распределения вероятностей дискретных и непрерывных случайных величин. Нормальное распределение. Функция надёжности.

6.Задачи математической статистики. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки.

7.Вариационный ряд и его характеристики. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

8.Точечные оценки параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценки. Интервальная оценка параметров распределения.

9.Проверка статистических гипотез.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ

При нахождении вероятностей сложных событий в задачах 1-15 следует пользоваться теоремами сложения, умножения и следствиями из них ([1] гл.2-4; [2] гл. 2).

3

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,8, а вторым

– 0,7. Найти вероятности попадания в мишень обоими стрелками; поражения мишени хотя бы одним стрелком.

Решение. Пусть событие A – попадание в мишень первым стрелком, B – вторым. Тогда событие C, заключающееся в одновременном поражении мишени обоими стрелками, является произведением событий А и В (С = АÀВ). Эти события происходят независимо друг от друга. Поэтому вероятность их произведения определяется по формуле

P(АÀВ) = Р(А) Р(В) и равна P(С) =Р(АÀВ) = 0,7À0,8 = 0,56. Рассмотрим теперь событие D – поражение цели хотя бы

одним стрелком. Оно заключается в поражении мишени либо первым стрелком, либо вторым, либо обоими вместе. Это событие является суммой исходных событий, т.е. D = А + В. События А и В являются совместными, т.к. могут происходить в одном и том же испытании. Поэтому следует воспользоваться формулой Р(А+В) = Р(А) + Р(В) –Р(АÀВ).

Получим Р(D) = Р(А+В) = 0,7 + 0,8 - 0,7 0,8 = 0,94.

Пример 2. Пластмассовые заготовки для деталей поступают с пресса №1, выпускающего 50% всей продукции, с пресса №2, выпускающего 30%, и с пресса №3, дающего 20%. При этом доля нестандартной продукции у первого пресса 0,10, у второго – 0,05, а у третьего – 0,02. Наудачу взятая заготовка оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она поступила с первого пресса.

Решение. Событие А – взятая заготовка стандартная. Она могла быть изготовлена прессом №1 (гипотеза Н1), прессом №2 (гипотеза Н2) или прессом №3 – Н3. Вероятности этих гипотез соответственно равны Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,2. Событие А может произойти с событием Н1 с условной вероятностью PH1 (A) 1- 0,1 0,9 . Аналогично имеем условные вероятности:

формуле

6

При составлении закона распределения случайной величины для нахождения вероятностей возможных значений можно использовать основные теоремы и формулы теории вероятностей.

Пример 6. Рабочий обслуживает два станка. В течение смены первый станок потребует внимания рабочего с вероятностью 0,2, второй – с вероятностью 0,3. Составить закон распределения числа станков, потребовавших внимания рабочего в течение смены. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Дискретная случайная величина Х – число станков, потребовавших внимания рабочего. Обозначим событие Аi –

внимание потребовал i-й станок, тогда, Ai – i-й станок не потребовал внимания рабочего. Итак, Р(А1) = 0,2, P( A1 ) = 1 – Р(А1) =

0,8, Р(А2) = 0,3, P( A2 ) = =1 – Р(А2) = 0,7.

Определим вероятность того, что случайная величина Х

примет возможные значения 0, 1, 2:

P( X 0) P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A1) 0,8 0,7 0,56;

P( X 1) P( A1 A2 A1 A2 ) P( A1 A2 ) P( A1 A2 )

P( A1 )P( A2 ) P( A1)P( A2 ) 0,2 0,7 0,8 0,3 0,14 0,24 0,38; P( X 2) P( A1) P( A2 ) 0,2 0,3 0,06.

Составим закон распределения:

3

Контроль: pi 0,56 0,38 0,06 1.

i 1

Вычислим основные числовые характеристики: математическое ожидание М(Х),

3

М ( Х ) xi pi 0 0,56 1 0,38 2 0,06 0,5,

i 1

дисперсию D(Х) = М(Х2) - (М(Х))2. Для этого составим закон распределения квадрата случайной величины Х:

8

М(Х) = nÀp = 3À0,9 = 2,7.

Дисперсия D(Х) = npq = 4À0,9À0,1 = 0,36 и среднее квадратическое отклонение ( X ) D( Х ) 0,6.

Особую трудность у студентов вызывает составление закона распределения. Поясним этот процесс еще на одном примере.

Пример 8. На пути движения автомобиля 3 светофора. Каждый из них с вероятностью 0,6 разрешает автомобилю дальнейшее движение. Найти закон распределения числа светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

Решение. Здесь случайной величиной Х является число светофоров, пройденных автомобилем до первой остановки.

Пусть событие А – светофор пройден без остановки, A – противоположное событие (остановка).

Вычислим вероятность значений случайной величины: P( X 0) P( A) 1 P( A) 0,4,

P( X 1) P( A A) 0,6 0,4 0,24,

P( X 2) P( A A A) 0,6 0,6 0,4 0,144,

P( X 3) P( A A A) 0,6 0,6 0,6 0,216.

3

Контроль: pi 0,4 0,24 0,144 0,216 1.

i 1

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

Задача 1. Построение вариационного ряда, вычисление выборочных характеристик вариационного ряда и подбор теоретического закона распределения.

Теоретический материал, необходимый для выполнения задания, изложен в [1, гл. 15–17; 2, гл. 10; 4].

Пример 1. На угольных предприятиях исследовали производительность труда рабочих при проходке штрека (случайная величина Х). Результаты наблюдений приведены в табл. 2.

9

По выборке случайной величины Х требуется: а) построить интервальный вариационный ряд;

б) по сгруппированной выборке вычислить выборочное среднее x , выборочную дисперсию S x2 и выборочное среднее квадратическое отклонение Sx ;

в) построить гистограмму вариационного ряда; г) проверить гипотезу о нормальном распределении случай-

ной величины X по критерию Пирсона при уровне значимости0,05.

Таблица 2

Решение. Для построения интервального вариационного ряда найдем по формуле Стерджеса оптимальную ширину интервала (шаг)

h xmax xmin ,

1 3,2 lg n

где xmax , xmin – соответственно наибольшее и наименьшее значения признака Х; n – объем выборки. В табл. 2 находим

xmax 0,36 ; xmin 0,12 ; n 50 . Тогда