6)Организация вычислений по циклу в среде MathCad.Возможные пути изменения точности получаемого результата.

При решении самых разнообразных научно-технических задач возникает необходимость в определении зависимости функции от одного или нескольких аргументов. Например, необходимо рассчитать мощность радиосигнала в зависимости от расстояния или колебательный процесс в электрическом контуре.При этом результаты расчета следует представить в виде массива чисел, заключив их в определенную таблицу.При подобных многократных расчетах по одной и той же формуле или алгоритму следует:

•во-первых, выбрать «шаг» или дискрет изменения аргумента;

•во-вторых, определить точность, с которой требуется рассчитывать значение того или иного параметра.

Иногда требуется рассчитать десятки, сотни и даже тысячи значений одной и той же функции в зависимости от значения аргумента.В подобных случаях экономный путь решения задачи состоит в организации расчета в рамках определенного цикла.В таком цикле автоматическое обращение к функции производится согласно зашитому в программу алгоритму.При этом пользователь указывает только шаг, точность и количество вариантов расчета.Самый простой способ организации циклического расчета состоит в использовании оператора цикла «m…n», пиктограмма которого расположена на математической панели инструментов «Матрица».После вызова щелчком этого оператора в него следует ввести значения нижнего и верхнего пределов:k := M…N,где k – дискретно на 1 изменяемый параметр, последовательно принимающий целые значения от M≥0 до N. Причем при M<0 все значения функции при 0≤k<M принимают значения, равные 0.Аргумент при циклическом расчете изменяется с «шагом» (дискретом) ∆, значение которого может быть выбрано любым. По умолчанию на рабочий лист выводится 16 значений функции.Щелкнув по графику функции, обрамляют ее рамкой и путем протаскивания вниз курсора расширяют таблицу до любого требуемого значения k≤N.При протаскивании курсора вверх таблица наоборот сжимается.Таким же образом можно вывести и таблицу значений аргумента, сделав в рассматриваемом случае запись.

7)Понятие об обработке данных. Кусочно-линейная интерполяция. Сплайн-интерполяция.

Обработка данных – это важная сфера применения компьютерной математики.При решении многих задач в радиотехнике, исходная функция задается в табличной форме или по точкам (например, экспериментально полученные амплитудная или амплитудно-частотная характеристики усилителя). Вместе с тем, для дальнейшего анализа необходимо знать значение функции при любом значении аргумента, а не только при некоторых его конкретных значениях. Данной цели, т.е. к переходу от дискретного описания функции к непрерывному, служит процедура аппроксимации. При определении функции между узловыми точками аппроксимация называется интерполяцией, а за их пределами – экстраполяцией. «MathCAD» располагает двумя способами интерполяции:

•кусочно-линейной;

•сплайновой (более точная).

При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости.Для этого используется функция linterp (VX, VY, x). Для заданных векторов VX и VY узловых точек и заданного аргумента x функция linterp (VX, VY, x) возвращает значение функции при ее линейной аппроксимации. Графически это означает просто соединение узловых точек отрезками прямых. При экстраполяции используются отрезки прямых, проведенных через две крайние точки. В программной среде «MathCAD» исходная функция (UВЫХ=F(UВХ)) записывается в виде матрицы Далее производится сортировка значений функции по возрастанию значений аргумента, если в таблице такая сортировка не произведена. Для этого обращаемся к встроенным функциям f(x), (например, на стандартной линейке).Записываем: V:=

Открываем окно f(x) и выбираем в разделе категория функций – «сортировка», а в разделе имя функции – «сортировка по аргументу»(csort (v, o)). После щелчка на кнопке «ок» получим запись.далее вставляем имя матрицы V:= csort (V,0)Далее присваиваем значениям аргумента значения из первого столбца.а значениям функции значения второго столбца.Теперь можно провести кусочно-линейную интерполяцию.Записываем:W(x):= Открываем окно встроенных функций. В разделе «категория функций» указываем название «интерполяция», а в разделе «имя функции» – «линейная» («linterp»). После щелчка по клавише «ок» появляется запись.Вводим в скобки последовательно X,Y,x:

W(x):=linterp(X,Y,x) Далее по правилам построения графиков строим зависимость W(x) = f(x)

Часто хорошие результаты дает сплайн-аппроксимация отрезками кубических полиномов, проходящих через три смежные узловые точки. Коэффициенты полиномов рассчитываются так, чтобы непрерывными были первая и вторая производные. Линия, которую описывает сплайн-функция, напоминает по форме гибкую линейку, закрепленную в узловых точках (откуда и название аппроксимации: splaine – гибкая линейка). Для осуществления сплайн-аппроксимации система Mathcad предлагает следующие функции:

cspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках отрезками кубических полиномов;

pspline (VX, VY) – возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам отрезками парабол;

lspline (VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам отрезками прямой;

interp (VS, VX, VY, x) –возвращает значение функции y(x) для заданных векторов VS, VX, и значения x.

Сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. Вначале с помощью функций cspline, pspline или lspline отыскивается вектор вторых производных функции y(x), заданной векторами VX и VY ее абсцисс и ординат. Затем для каждой точки вычисляется y(x) с помощью функции interp.Сплайн интерполяции даже при небольшом количестве точек (5-6) дает хорошие результаты:

• график функции оказывается плавным;

• точки его перегиба незаметны.

Проведем сплайн-интерполяцию для рассмотренного выше примера. Этапы записи таблицы в виде матрицы и сортировки аналогичны кусочно-линейной интерполяции.Далее записываем:

S:=

Открываем встроенные функции f(x) и в разделе «категория функций» выбираем «интерполяция», а в разделе «имя функции» - «cspline». После щелчка по клавише «ОК» появится

S:=cspline( , )

Вводим под знак cspline аргумент Х и функцию Y.

S:=cspline(X, Y)

Далее записываем:

W(x):=

Открываем встроенные функции f(x) и в разделе «категория функций» выбираем «интерполяция», а в разделе «имя функции» - «interp». После щелчка по клавише «ОК» появляется:

W(x):= interp( , , , ),

куда последовательно под знак функции вводятся обозначения S,X,Y,x.W(x):=interp(S,X,Y,x). Далее по правилам построения графиков строим в декартовой системе координат график функции W(x)= f(x)