Глава 4 Кинематический анализ рычажных мех

4

4.КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ

Вкинематике изучается движение материальных тел без учета их масс

идействующих на них сил. Основными характеристиками движению являются траектории, скорости и ускорения точек и звеньев механизма /11/.

Целью кинематического анализа рычажных механизмов является определение положений, скоростей и ускорений звеньев механизма в функции времени или положения выходного звена, без учета действующих сил /5/.

4.1. Основные понятия

Кинематический анализ выполняется на основе кинематической схемы для которой заданы размеры звеньев (длины звеньев, координаты точек на профиле кулачка и т.п.) необходимые для кинематического анализа. При расчете скоростей и ускорений должны быть заданы значения обобщенных скоростей и ускорений механизма. Обобщенные скорости и ускорения являются соответственно первой и второй производной от обобщенной координаты по времени. Если производные функции положения берутся но обобщенной координате, то их называют кинематической передаточной функцией скорости (аналог скорости) и кинематической передаточной функцией ускорения (аналог ускорения) /11/.

Рассмотрим связь между скоростью Vc (ускорением ас) и передаточной функцией скорости Vϕс (ускорения аϕс) некоторой точки на каком-либо звене механизма, на примере механизма изображенного на рис. 4.1.

Разработал Корчагин П.А.

[аϕc]=м/рад2 /11/.

Как видно из полученных соотношений передаточные функции скорости и ускорения являются геометрическими характеристиками механизма и не зависят от времени /5/.

Различают следующие методы кинематического анализа: графический (метод кинематических диаграмм); аналитический; графо-аналитический (метод планов скоростей и ускорений) и экспериментальный.

4.2. Планы положений механизма

Изображение кинематической схемы механизма, соответствующее определенному положению начального звена, называется планом механизма. Планы строятся в заданном масштабе. При этом различают понятия "масштаб" и "масштабный коэффициент". Масштабом физической величины называют длину отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину. Масштаб и масштабный коэффициент являются взаимно обратными величинами. Масштабные коэффициенты обозначают буквой µ с индексом, указывающим, к какой величине они относятся. Например, масштабный коэффициент длин (µl) для плана механизма есть отношение длины (lАВ) в метрах к отрезку АВ, изображающему эту длину на чертеже в миллимет-

рах /12/:

Рассмотрим построение планов механизма на примерах /12/.

1. Шарнирный четырехзвенник (рис. 4.2). Кривошип ОА вращается с постоянной скоростью ω, поэтому положение точки А известно для любого момента времени (любого угла поворота звена ОА).

Делим окружность радиуса ОА на несколько равных частей, например на 6. Обозначим положение конца кривошипа точками А1, А2 … А6.

Точка В (конец коромысла СВ) движется по дуге окружности радиуса СВ. Проведем эту дугу из центра – точки С.

Радиусом, равным длине шатуна АВ, делаем из точек А1, А2 … А6 засечки на дуге окружности.

Соединяем одноименные положения точек А1 и В1, А2 и В2 …, а также В1 и С1, В2 и С2 … Получаем положения шатуна и коромысла за цикл движения, т.е. за один оборот кривошипа Вращение коромысла против часовой стрелки соответствует положениям рабочего хода, по часовой стрелке – положениям холостого хода.

Разработал Корчагин П.А.

6

Рис. 4.2.

2. Кривошипно-ползунный механизм (рис. 4.3). Задаемся крайним положением кривошипа (кривошип и шатун располагаются на одной линии).

Рис. 4.3.

Делим окружность радиуса ОА на равные части. Из точек деления (А1, А2 …) делаем засечки на оси движения ползуна (В1, В2 …) радиусом, равным длине шатуна. Найденные положения точки В определяют положение ползуна (поршня) на рабочем ходу – В1, В2, В3; на холостом ходу – В4, В5. Соединяем одноименные точки (А1 и В1, А2 и В2 …).

4.3. Планы скоростей плоских механизмов

Планом скоростей называют чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и по направлению скоростям различных точек механизма в данном положении.

Для построения плана скоростей необходимы исходные данные /12/: - план механизма с указанием размеров;

Разработал Корчагин П.А.

7

- угловая скорость начального звена.

Из теоретической механики известно, что любое движение плоского тела может рассматриваться как сумма двух движений: вращение относительно некоторой точки (полюса) и поступательное (переносное) движение полюса. Используя этот принцип, рассмотрим решение задач о скоростях точек звеньев, образующих пары 5-го класса /12/.

Задача 1. Определение скоростей точек звена, входящего во вращательную пару с другим звеном /12/.

Пустьr заданы:

VA - вектор скорости точки А (рис. 4.4, а); ωАВ – угловая скорость звена АВ.

Требуется определить: скорости точек В и С ( VВ , VС ).

Рис. 4.4.

r В соответствии с теоремой сложения скоростей абсолютная скорость VrВ точки равна геометрической сумме переносной VA и относительной VВA скоростей этой точки

где VВA = ωАВlAB - относительная скорость точки В во вращательном движении вокруг точки А; вектор VВA направлен перпендикулярно звену АВ

(т.е. радиусу вращения). Аналогично:

где VСA = ωАВlAС; вектор этой скорости направлен перпендикулярно зве-

ну АС.

Построим векторные уравнения (4.6) и (4.7).

Разработал Корчагин П.А.

8

1. Выбираем произвольную точку р – полюс плана скоростей и откла-

дываем в направлении вектора VA отрезок произвольной длины pa (рис.

4.4, б). При этом определяем значение масштабного коэффициента плана скоростей:

ную АВ, и откладываем отрезок ab в масштабе, учитывая при этом направление угловой скорости ωАВ:

3. Суммарный вектор – абсолютная скорость точки В определится от-

резком pb :

4. Аналогично находим скорость точки С: из точки а в направлении, перпендикулярном АС, откладываем относительную скорость с учетом масштабного коэффициента:

Соединяем полюс полученной на плане скоростей точкой С. Измерив

на плане величину отрезка pс, находим значение абсолютной скорости точки С:

5. Скорость точки С можно определить, приняв движение точки В за переносное:

На плане скоростей (см. рис. 4.4, б) вектор pb изображает скорость

точки В; относительная скорость VСВ - это вектор bс, направленный пер-

пендикулярно стороне звена ВС (см. рис. 4.4, а). Соединив точки b и с, получим на плане скоростей графическое изображение уравнения (4.13).

Сравнивая треугольники АВС и abc на рис. 4.4, можно заметить, что эти фигуры подобны и сходственны, т.к. стороны их взаимно перпендикулярны и отрезки ab, ас, bc пропорциональны длинам сторон звена АВ, АС, ВС.

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1.На плане скоростей лучи, выходящие из полюса, изображают абсолютные скорости точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, - относительные скорости соответствующих точек.

2.Векторы относительных скоростей направлены на плане скоростей к

первой букве индекса. Например, VСВ - скорость точки С относительно В.

Разработал Корчагин П.А.

9

На плане скоростей читается наоборот: отрезок bс, а вектор направлен к точке с.

3. Векторы относительных скоростей точек жесткого звена образуют на плане скоростей фигуру, подобную этому звену, повернутую на 90о в направлении угловой скорости звена.

Последний вывод называется принципом подобия в плане скоростей и позволяет определить скорость любой точки звена графически, если известны скорости хотя бы двух точек этого звена.

Задача 2. Определение скоростей точек звена, входящего в поступательную пару. r

Пусть заданы: ωОА - угловая скорость звена ОА (рис. 4.5, а), VAAx - скорость звена АВ относительно направляющей x −x .

Требуется определить: скорость точки В ( VВ ), лежащей на звене АВ.

Рис. 4.5.

Точки А и Ах совпадают, но принадлежат разным звеньям: А – звену АВ; Ах – звену ОА (или направляющей x −x ). То же самое можно сказать о точках В и Вх. Тогда скорость точки В определяется уравнением /12/

тельно Вх).

Поскольку звено АВ движется поступательно относительно направляющей x −x , справедливо равенство /12/:

Разработал Корчагин П.А.

10

правлении, параллельном направляющей x −x (рис. 4.5, б), в виде отрезка

Скорость точки В определяется сложением векторов pbх и bx b (см.

рис. 4.5, б). Получаем вектор pb , который затем умножается на масштабный коэффициент /12/:

4.4. Планы ускорений механизмов

Чертеж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и направлению ускорениям различных точек звеньев механизма в данном положении, называется планом ускорений.

Рассмотрим решение двух задач об определении ускорений точек звеньев, образующих кинематические пары 5-го класса, аналогично решению задач о скоростях (см. п.4.3).

Задача 1 /12/. Ускорение точек звена, входящего во вращательную пару. При построении плана ускорений считается, что все скорости известны,

т.е. план скоростей механизма для данного положения уже построен.

Пусть заданы:

arA - ускорение точки А; εAB - угловое ускорение звена АВС. Требуется определить: ускорение точек В и С ( aB , aC ).

r Абсолютное ускорение точки В складывается из переносного ускорения a A и относительного ускорения aBA во вращательном движении точки В

вокруг А (рис. 4.6, а) /12/:

Разработал Корчагин П.А.

11

Рис. 4.6.

Поскольку относительное движение вращательное, выражение (4.20)

aτBA = εAB lAB - касательное ускорение в относительном движении, направ-

ленное перпендикулярно радиусу вращения.

Построим уравнение (4.21) в виде суммы векторов (рис. 4.6, б). Выбираем точку π - полюс плана ускорений. Откладываем из полюса вектор aA

отрезка произвольной длины πa , направленного параллельно вектору aA .

Из точки а откладываем в направлении к центру вращения с учетом

От полученной точки n в направлении, перпендикулярном АВ, откладываем отрезок nb , изображающий в масштабе касательную составляю-

Разработал Корчагин П.А.

12

Направление вектора nb определяется с учетом углового ускорения εAB (в данном примере – вниз). Если звено АВ движется с постоянной уг-

ловой скоростью ( ωAB= const), то касательная составляющая относительного ускорения aτBA будет равна нулю ( nb =0).

Соединяя точку π с точкой b, получаем результирующий вектор, который изображает абсолютное ускорение точки В (см. уравнение 4.21) /12/:

Аналогично строятся векторные уравнения для точки С (см. рис. 4.6)

С учетом известных из теоретической механики формул (см. значения

Тангенс угла, определяющего направление полного относительного ускорения (см. рис. 4.6, а) /12/:

Из формулы (4.32) следует, что тангенс угла ϕ не зависит от того, какая точка звена рассматривается и одинаков для всех относительных ускорений.

Из выражений (4.29, 4.30., 4.31, 4.32) следует, что относительные ускорения точек звена АВС пропорциональны длинам сторон и повернуты на один и тот же угол. Следовательно, ∆abc в плане ускорений и ∆АВС (жесткое звено) подобны и сходственны.

Этим определяется принцип подобия в плане ускорений.

Векторы относительных ускорений точек жесткого звена образуют на плане ускорений фигуру, подобную этому звену и повернутую относительно его на угол (180о – ϕ) в направлении углового ускорения.

Зная относительные ускорения хотя бы двух точек звена, можно определить ускорения любой точки этого звена, пользуясь принципом подобия.

Разработал Корчагин П.А.

13

Задача 2 /12/. Ускорение точек звена, входящего в поступательную па-

ру.

Пусть заданы: εОА = εхх - угловое ускорение звена ОА, т.е. направляющей x −x (рис. 4.7, а); arrААх - ускорение звена АВ в относительном по-

ступательном движении.

Требуется определить: ускорение точки В звена АВ ( aB ).

Рис. 4.7

Точки А, Ах совпадают, но принадлежат разным звеньям: А – звену АВ, Ах – звену ОА (направляющей x −x ).

Абсолютное ускорение точки В складывается из переносного ускорения точки В, которая принадлежит направляющей x −x и вращается во-

круг оси О; относительного ускорения точки В в поступательном движении вдоль направляющей и Кориолисова (поворотного) ускорения.

arB = aBх + arrВВ+ arkВВx . (4.33)

Переносное движение – вращательное, неравномерное, поэтому ускорение складывается из нормальной ( arnBх ) и касательной ( arτBх ) составляю-

Величина и направление составляющих переносного ускорения опре-

Вектор arnBх направлен параллельно ОВ к центру вращения – точке О. Вектор arτBх направлен перпендикулярно ОВ.

Относительное движение – поступательное, поэтому все точки движутся с одинаковым ускорением /12/:

Разработал Корчагин П.А.