Глава 6 Силовой анализ

4

6.СИЛОВОЙ АНАЛИЗ ПЛОСКИХ МЕХАНИЗМОВ

6.1.Задачи и методы силового анализа

Силовой анализ – это изучение влияния внешних сил на звенья механизма, на кинематические пары и на неподвижные опоры. Исследование действия сил необходимо для того, чтобы можно было рассчитать звенья на прочность, на износостойкость, виброустойчивость, чтобы определить необходимую мощность привода /12/.

В результате силового анализа можно определить пути уменьшения динамических нагрузок и спроектировать машину так, чтобы она имела достаточную прочность при меньших габаритах и массе. Если звенья в процессе работы движутся неравномерно, то кроме внешних сил на них действуют еще и силы инерции. Величина сил инерции зависит от ускорения, а значит, от закона движения начального звена /12/.

Основная задача силового расчета формулируется следующим образом: по заданным значениям внешних сил и законам движения начальных звеньев определить реакции в кинематических парах, а также силы или пары сил, приложенные к приводу машины /12/.

Методы расчета реакций без учета сил инерции входят в раздел статики, а с учетом сил инерции – в раздел кинетостатики /12/.

Метод кинетостатики применяется в тех случаях, когда имеются большие ускорения и силами инерции нельзя пренебречь.

Согласно принципу Даламбера, известному из теоретической механики, звено находится в равновесии, если к действующим на него внешним силам добавить силы инерции. Поэтому, чтобы определить неизвестные реакции в кинематических парах, к звеньям механизма следует приложить все внешние силы, силы инерции, составить уравнения статического равновесия и решить эти уравнения /12/.

6.2. Характеристика сил, действующих на звенья механизма

Силы и моменты пар сил, приложенные к механизму, можно разделить на следующие группы /12/:

-движущие силы и моменты сил, совершающие положительную работу (они приложены к ведущим звеньям);

-силы и моменты сил сопротивления, совершающие отрицательную работу. Эти силы делятся на силы полезного сопротивления, которые приложены к ведомым звеньям, и силы вредного сопротивления (со стороны среды, в которой движутся звенья). Последними в силовом анализе пренебрегают

Разработал Корчагин П.А.

5

-силы тяжести, которые на отдельных участках движения могут совершать как положительную, так и отрицательную работу.

-силы взаимодействия между звеньями, т.е. реакции в кинематических парах. Согласно третьему закону Ньютона, эти силы равны и противоположны по направлению. Нормальные составляющие сил реакций работы не совершают, а касательные составляющие – это силы трения, и они совершают отрицательную работу. При силовом анализе трением пренебрегают.

Силы и моменты пар сил первых трех групп относятся к категории внешних сил. Силы последней группы являются внутренними, если рассматривать в5есь механизм в целом. Если же рассматривать отдельные звенья, то реакции в кинематических парах со стороны отброшенных звеньев считаются внешними силами и входят в уравнения равновесия /12/.

Для того чтобы воспользоваться методом кинетостатики при силовом расчете, необходимо определить силы инерции. Как известно из теоретической механики, элементарные силы инерции можно привести к главному вектору Fи и главному моменту Ми /12/:

где m – масса звена; as - ускорение центра масс; ε - угловое ускорение звена; Js - момент инерции звена относительно оси, проходящей через

центр масс перпендикулярно плоскости движения (сокращенно – осевой момент инерции). Знак "минус" в формулах означает, что сила инерции направлена против ускорения (момент сил - против углового ускорения).

Следует отметить, что главный вектор и главный момент сил инерции не имеют физического содержания, и в действительности к звену эти силы не приложены. Они входят в уравнения кинетостатики как чисто математические величины, посредством которых учитывается влияние ускоренного движения звеньев, и условно относятся к разряду внешних сил.

6.3. Условие статической определимости кинематической цепи

Плоская кинематическая цепь может состоять из кинематических пар 5- го класса (вращательных, поступательных) и пар 4-го класса (высших, у которых звенья соприкасаются в точке. Как известно из теоретической механики, сила взаимодействия двух соприкасающихся тел при отсутствии трения направлена по общей нормали к их поверхности /12/. В поступательной паре (рис .6.1, а) реакции направлены перпендикулярно направляющей. Неизвестных здесь две: величина силы F01 и точка ее приложения

(расстояние h). Во вращательной паре равнодействующая сил реакции направлена по нормали к цилиндрической поверхности, т.е. проходит через центр шарнира (рис. 6.1, б). Неизвестными являются : направление реак-

Разработал Корчагин П.А.

6

ции (угол β) и величина силы. Таким образом, эта пара также вносит в уравнения кинетостатики две неизвестных. Следовательно, от каждой силы, действующей в любой низшей кинематической паре, в расчетных уравнениях появляются две неизвестные величины /12/.

Рис. 6.1

Ввысших парах сила взаимодействия между звеньями направлена по общей нормали и приложена в точке касания, т.е. известны и направление

иточка приложения силы (рис. 6.1, в), неизвестна лишь ее величина. Поэтому в расчетных уравнениях члены, образованные силами взаимодействия в высших парах, содержат по одному неизвестному /12/.

Вобщем случае плоская кинематическая цепь содержит p5 пар 5-го класса и p4 пар 4-го класса, поэтому общее число неизвестных равно /12/:

Число уравнений статики для каждого звена плоского механизма равно 3, значит, общее число уравнений для n подвижных звеньев

Чтобы система была статически определимой, число уравнений Nу должно быть равно числу неизвестных Nн . Приравниваем (6.2) и (6.3), по-

Из этого можно сделать вывод, что группы Ассура (см. п.3.7) являются статически определимыми.

На основании вышеизложенного формулируется общая методика силового анализа: расчет необходимо проводить по структурным группам, начиная с наиболее удаленной от начального звена и заканчивая начальным звеном (механизмом I класса). Таким образом, силовой расчет проводится в порядке, обратном кинематическому /12/.

Разработал Корчагин П.А.

7

6.4.Силовой расчет групп Ассура

6.4.1.Группа Ассура II класса 2 порядка 1 вида (рис. 6.2)

Дано: F2 , F3 , M2 , M3 - внешние силы и моменты пар сил (в т.ч. силы

инерции), приложенные к звеньям 2 и 3.

Определить: F12 , F32 , F43 - реакции в кинематических парах.

Неизвестные реакции покажем пунктиром и разложим на две составляющие так, чтобы момент одной из них относительно точки В был равен

нулю: Fn - нормальная составляющая реакции, направлена по звену АВ;

12

F12τ - касательная составляющая реакции, направлена перпендикулярно звену АВ. Аналогично разложим реакцию F43 , направив F43n по звену ВС, F43τ - перпендикулярно звену ВС (см. рис. 6.2, а). Направление векторов принимаем произвольно.

где MB ( F2 ) – момент силы F2 относительно точки В; lAB - длина звена

АВ (плечо силы F12τ ).

Сумма моментов принимается алгебраической, т.е. при решении урав-

При численных расчетах результат может оказаться и с плюсом, и с минусом. Если получится знак "плюс", значит, направление вектора силы

Разработал Корчагин П.А.

8

реакции принято правильное; если знак "минус", то направление вектора следует изменить на противоположное /12/.

Уравнение равновесия звена 3 /12/:

В векторном уравнении (6.10) неизвестны величины сил F12n и F43n , но

заданы их направления.

Для того чтобы векторная сумма всех сил равнялась нулю, силовой многоугольник должен быть замкнут. Следовательно, решением уравнения

(5.10) будет точка пересечения направлений сил F12n и F43n .

Построим уравнение (6.10) путем обычного сложения векторов (рис. 6.2, б). Откладываем из точки а последовательно все силы, начиная с F12τ в масштабе сил µF . В точке b, где находится конец вектора Fr43τ , начинается вектор F43n . Проводим через точку b перпендикуляр (направление нормальной составляющей реакции). В точке а должен находиться конец вектора F12n , при этом силовой многоугольник замкнется. Проводим через точку а перпендикуляр к вектору F12τ . Точка пересечения проведенных двух прямых (точка с) определяет величину реакций F12n и F43n .

Графическое изображение векторных уравнений равновесия звеньев или структурных групп называется планом сил.

Сравним направление полученных на плане сил реакций с произвольно

ры направлены в противоположную сторону. В таких случаях направления реакций на расчетной схеме следует изменить.

По плану сил определяется равнодействующая реакций F12 , F43 , а так-

же истинные направления этих векторов (на плане сил показаны пунктиром).

Таким образом, остается определить реакцию в шарнире В. Для этого рассмотрим уравнение равновесия одного из звеньев, например звена 2.

Отброшенное звено 3 заменим его реакцией F32 на звено 2, т.е. в данном r

случае F32 выступает как внешняя сила.

Разработал Корчагин П.А.

Первые дваrвектора уже построены (см. рис. 6.2, б), остается соединить конец вектора F2 с началом вектора F12 , чтобы силовой треугольник был замкнут.

6.4.2. Группа Ассура II класса 2 порядка 2 вида (рис. 6.3)

Дано: F2 , F3 , M2 , M3 - внешние силы и моменты пар сил (в т.ч. силы

инерции), приложенные к звеньям 2 и 3.

Определить: F12 , F32 , F43 - реакции в кинематических парах и h – точку

приложения реакции в поступательной паре.

Разложим реакцию во вращательной паре (в шарнире А) на две составляющие (рис. 6.3, а).

направлению, и по величине.

Разработал Корчагин П.А.

10

Строим векторное уравнение в виде плана сил, начиная с известного вектора Fr12τ (рис. 6.3, б), откладывая из точки а последовательно все известные силы в масштабе µF . Чтобы замкнуть силовой многоугольник,

проводим через точку а перпендикуляр к F12τ , а через точку b – направле- r

ние вектора F43 (перпендикулярно оси движения ползуна х – х). Точка пе-

ресечения этих двух линий определяет величину векторов Fr12τ и Fr12n (на

плане обозначена пунктиром) /12/. Уравнение равновесия звена 2 /12/:

∑F= F12 + F2 + F32 =0 . (6.15)

Замыкаяr силовой треугольник на плане сил, находим неизвестный вектор F32 .

Если плечо h получится со знаком «минус», то это значит, что точку приложения силы F43 следует расположить по другую сторону от точки В.

Тогда момент будет иметь противоположный знак.

Очень часто при решении задач плечо h получается таким, что сила сила F43 оказывается далеко за пределами кинематической пары. Рассмотрим, как воспринимается в этом случае реакция элементами кинематической пары (рис. 6.3, в). Плечо силы F43 относительно центра поступательной пары обозначим hF . Прикладывая в центре пары две равные и противоположно направленные силы F43 , получим силу F43 , приложенную в

центре, и момент пары сил, равный F43 hF , который будет действовать в крайних точках ползуна, т.е. на плече l /12/.

Таким образом, действие силы F43 на плече h будет в действительности

как сила F43 , приложена в центре ползуна, и пара сил F43м , приложенная

на плече l . Такое расположение реакций неблагоприятно сказывается на работе ползуна, т.к. вызывает значительные силы трения /12/.

Разработал Корчагин П.А.

11

6.4.3. Группа Ассура II класса 2 порядка 3 вида (рис. 6.4)

Дано: F2 , F3 , M2 , M3 - внешние силы и моменты пар сил (в т.ч. силы

инерции), приложенные к звеньям 2 и 3.

Определить: F12 , F32 , F43 - реакции в кинематических парах и h – точку

приложения реакции в поступательной паре.

Неизвестные реакции F12 и F43 раскладываем на две составляющие:

параллельную х – х и перпендикулярную х – х (рис. 6.4, а). Реакция F32 направлена перпендикулярно х – х.

Рис. 6.4.

Уравнение равновесия звена 2 запишем в виде суммы проекций на ось х – х /12/:

Строим это уравнение в масштабе плана сил (рис. 6.4, б). Из точки а отложим векторы F12τ , Fr2 , Fr3 , F43τ ; получим точку b, из которой проводим

Разработал Корчагин П.А.

12

перпендикуляр к линии х – х (направление векторов F43n и Fr12n ). Поскольку

векторы параллельны между собой, то для выполнения равенства (6.21) необходимо попасть в точку а, чтобы замкнуть силовой многоугольник. Таким образом отрезок ab представляет собой в масштабе сумму векторов

измерить на схеме и вычислить с учетом масштаба длин) и составим еще

Первые два вектора уже есть на плане. Отрезок dc изображает замы-

отсюда:

h= − MA (F2 ) +M2 .

F32

Полученная величина определяет, на каком расстоянии от точки А приложена реакция F32 .

6.5. Силовой расчет начального звена

Для того чтобы привести механизм в движение и выполнить полезную работу, необходимо выбрать мощность двигателя, которая обеспечила бы вращение начального звена с заданной скоростью При постоянной скорости вращения движущая сила (момент сил) должна уравновешивать все силы, приложенные к начальному звену. Поэтому в задачу силового расче-

Разработал Корчагин П.А.

13

та начального звена, кроме определения реакций, входит еще и определении внешнего силового фактора. Если передача энергии осуществляется через зубчатый редуктор, то внешний силовой фактор представляет собой силу Fу , действующую по нормали к рабочей поверхности зуба (рис. 6.5,

а). В соответствии с геометрией стандартных зубчатых колес нормаль в точке касания зубьев образует угол α=20о с перпендикуляром к межосевому расстоянию.

Кроме уравновешивающей силы Fу на начальное звено действуют реакции со стороны отброшенного звена 2 ( F21), а также реакция стойки

( F01).

Как было упомянуто выше, F21= - F12 . Сила F12 определена предыду-

щим расчетом структурной группы. Таким образом, имеется неизвестная по величине и по направлению сила F01 и неизвестная по величине сила

Fу .

где M0 ( F21) – момент силы F21 относительно точки 0; hу - плечо силы

Fу (см. рис. 6.5, а).

Строим векторное уравнение в виде плана сил, замыкающая сторона треугольника изображает реакцию F01 стойки (рис. .5, б).

Разработал Корчагин П.А.