Глава 7 Синтез зубчатых механизмов

7.СИНТЕЗ ЗУБЧАТЫХ МЕХАНИЗМОВ

7.1.Теорема об отношении скоростей звеньев, входящих в высшую пару

Задача теории зацепления круглых цилиндрических колес заключается в определении условий, при соблюдении которых передача вращательного движения происходит с заданным отношением угловых скоростей. Кинематическую основу этой передачи обуславливает сформулиро-

эвольвенте /6/.

7.2. Эвольвента окружности. Свойства эвольвенты

Эвольвентой круга называют кривую, которую описывает любая точка прямой линии, катящаяся без скольжения по окружности, называемой основной окружностью. Перекатывающаяся прямая называется производящей прямой.

Пусть (рис. 7.2) при качении прямой АС по неподвижной окружности радиусом rb с центром в точке О точка С описывает эвольвенту.

Свойства эвольвенты

1.Эвольвента представляет собой симметричную кривую, которая имеет две ветви, сходящиеся в начальной точке возврата А0.

2.Любые касательные А1С1, А2С2, ... к основной окружности являются нормалями к эвольвенте в соответствующих точках А1, А2 и т.д.

Разработал Корчагин П.А.

3.Основная окружность является эволютой построенной кривой, т.е. геометрическим местом центров кривизны эвольвент, описанных произво-

дящей прямой; поэтому отрезки касательных А1С1, А2С2 и т.д. являются радиусами кривизны эвольвенты в соответствующих точках.

4.Все точки эвольвенты располагаются вне основной окружности.

7.3 Уравнение эвольвенты

На рис. 7.3 изображена основная окружность радиуса rb и эвольвента АС. Введем следующие обозначения и определения:

Угол Θ, определяющий направление радиуса-вектора ОА любой точки А эвольвенты, называют эвольвентным углом профиля зуба.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОСА, откуда

Разработал Корчагин П.А.

Полученная функция угла α называется эвольвентой функцией и обозначается сокращенно inv (инволюта - от английского слова involute - эвольвента).

Уравнения (7.4) и (7.5) представляют собой параметрические уравнения эвольвенты в полярных координатах.

7.4. Картина зацепления. Линия зацепления. Угол зацепления

Построим картину зацепления двух зубчатых колес с внешними зубьями.

Строим центроиды (рис. 7.4) - начальные окружности колес с точками О1 и О2, касающиеся в полюсе зацепления Р. Через точку Р проводим прямую линию ТТ, перпендикулярную к линии центров О1О2. Под углом α к линии ТТ проводим производящую прямую NN. Угол α называют углом зацепления исходного контура (профиля). Согласно ГОСТ α=20о.

Чтобы выбрать направление производящей прямой NN, необходимо вектор скорости точки P (точки касания начальных окружностей) повернуть на угол α в сторону: для внешнего зацепления противоположную направлению вращения, для внутреннего зацепления - по направлению вращения /6/.

Из центров О1 и О2 опустим перпендикуляры О1А и О2В на линию NN. Радиусами rb1=O1A и rb2=O2A проводим основные окружности из центров О1 и О2 соответственно /6/.

Примем полюс Р линии зацепления за вычерчивающую точку и перекатывая производящую прямую NN по основным окружностям получим эвольвенты. Эти эвольвенты и будут профилями зубьев соответствующих колес /6/.

Откладывая по линии центров О1О2 вверх от полюса Р высоту головки зуба нижнего колеса, а вниз высоту его ножки, из центра О2 проводим окружности вершин и впадин. Точно так же проводим окружности вершин и впадин для верхнего колеса. Затем по начальным окружностям откладываем толщину зуба s и ширину впадины е и по правилам симметрии строим профили зубьев /6/.

Часть профиля зуба, расположенная между основными окружностями и окружностью впадин может быть очерчена любым образом при условии, что головка зуба должна свободно проворачиваться во впадине сопряженного зуба /6/.

Часть ножки зуба, соответствующая переходной кривой, нерабочему участку его профиля, называю галтелью /6/.

Разработал Корчагин П.А.

O1

rf1

A

r2

N

rb2

rf2

O2

Рис. 7.4 Картина зацепления

Разработал Корчагин П.А.

Если верхнее колесо является ведущим и вращается по часовой стрелке, то зацепление начнется в точке, а пересечения производящей прямой NN с окружность вершин нижнего колеса. Зацепление заканчивается в точке b пересечения производящей прямой с окружностью вершин верхнего колеса /6/.

Линией зацепления эвольвентных профилей является производящая прямая NN - касательная к основным окружностям. Отрезок ab - производящей прямой называют длиной активной линии зацепления, отрезок АВ - длиной линии зацепления /6/.

Одним из основных достоинств эвольвентного зацепления является то, что правильность работы зубчатых колес не изменяется при изменении межосевого расстояния (неточность сборки и монтажа). Между радиусами rw1 и rw2 начальных окружностей и соответствующих им радиусах rb1 и rb2 основных окружностей существует соотношение. Так из прямоугольных треугольников О1АР и О2ВР имеем /6/

Следовательно, передаточное отношение i12 не зависит от угла α, а зависит только от радиусов основных окружностей. Из соотношения (7.7) следует, что при изменении межцентрового расстояния О1О2 двух колес с

эвольвентным зацеплением передаточное отношение i12 = ± rb2 , т.к. ра-

rb1

диусы основных окружностей не изменяются /6/.

Колеса можно раздвигать и сдвигать до полного исчезновения зазора между зубьями. От этого правильность работы зубчатых колес не нарушается, но положение фактических начальных окружностей изменяется. Таким образом, для отдельного колеса с эвольвентным профилем нет определенной начальной окружности. Начальные окружности устанавливаются только при спаривании колес и известном расстоянии между их центрами

/6/.

7.5 Рабочие участки профилей зубьев. Дуга зацепления. Коэффициент перекрытия

Как уже описывалось выше, в эвольвентном зацеплении линией зацепления будет общая нормаль АВ, не меняющая своего положения при работе зубчатых колес. На ней постоянно находится точка k зацепления.

Разработал Корчагин П.А.

Две точки соприкасающихся профилей, которые встречаются на линии зацепления, называют сопряженными точками /6/.

Пусть два зубчатых колеса 1 и 2 (рис. 7.5) входят в зацепление. Определим для некоторой точки k1 профиля 1 сопряженную точку k2 профиля 2. Так как сопряженные точки k1 и k2 в момент касания профилей совпадают с точкой k зацепления, то для определения положения точки k2 определим, прежде всего, соответствующее положение точки зацепления. Для этого радиусом О1К1 проведем дугу до пересечения с линией зацепления АВ и получим точку k зацепления. Точка k2 так же описывает окружность с центром в точке О2, поэтому для ее определения проведем дугу радиусом О2К до пересечения с профилем 2. Найденная точка k2 и будет сопряженной точкой k1 /6/.

Аналогичным построением, используя окружности вершин колес, можно найти на профилях точки, сопряженные с точками профилей зубьев лежащими на окружности вершин. Части профилей показанные на рис.7.5 жирной кривой являются рабочими участками профилей зубьев. Вне этих участков зацепление не происходит, следовательно, боковая поверхность в этих частях может ограничиваться произвольной кривой /4/.

Непрерывность работы зубчатой передачи должна обеспечиваться перекрытием работы одной пары зубьев другой, т.е. последующая пара зубьев должна войти в зацепление до выхода из зацепления предыдущей пары зубьев. В этом случае в зацеплении будет одновременно находиться одновременно не менее одной пары зубьев. Плавность работы оценивается коэффициентом перекрытия /4/.

Дуга начальной окружности, по которой перемещается точка профиля за время зацепления, называется дугой зацепления. Если дуга больше шага, то перекрытие обеспечивается /4/.

Отношение дуги зацепления к шагу называется степенью перекрытия

εs

При вычислении степени перекрытия дугу зацепления можно измерить и на любой другой окружности, в частности на основной, при условии, что и шаг измеряется по той же окружности /4/

Таким образом, используя свойства эвольвенты, коэффициент перекрытия можно определить по формуле /4/

где ab - длина активной линии зацепления, p b - шаг по основной окружно-

сти.

Разработал Корчагин П.А.

O1

B

b

k1 k

k2 P a

A

O2

Разработал Корчагин П.А.

При значениях коэффициента перекрытия меньше единицы шаг по основной окружности будет больше длины активной линии зацепления, следовательно, когда одна пара зубьев выйдет из зацепления, другая пара не успеет войти в зацепление и передача будет неработоспособна. Поэтому

минимально допустимое значение принимают равным ε=1,1. Рекомендуется проектировать зубчатые колеса так, чтобы коэффициент перекрытия был больше 1,4. Коэффициент перекрытия позволяет судить об относительной продолжительности зацепления колес /4/.

Для различных типов зацепления коэффициент перекрытия может быть определен графически по формуле (7.9) или же вычислен по соответствующим формулам /4/.

Определим аналитически длину активной линии зацепления ab (см.

рис. 7.4) /1/

Рассмотрим прямоугольные треугольники О1ВР, O2AP, O1Ba, O2Ab

Полученной формулой можно пользоваться для определения коэф-

фициента перекрытия ε в случае неподрезанных зубьев как нормальных, так и исправленных колес /6/.

7.6 Эпюры относительных скольжений профилей зубьев

Решающим фактором, который определяет долговечность нормальной работы зубчатых колес, является поверхностный износ зубьев, величина которого оценивается глубиной стертого слоя металла. Высокое удельное давление вызывает усталость поверхностного слоя металла шестерен и в результате происходит образование на поверхности зуба раковин и отслаивания (выкрашивания) тончайших наружных слоев поверхности зуба. Кроме того, износ в виде истирания материала обуславливается трением зубьев сопряженных колес при взаимном проскальзывании поверхностей этих зубьев. Условия износа в разных точках сопряженных профилей неодинаковы. Для количественной оценки этих условий износа используется понятие об относительном скольжении λ профилей в процессе

Разработал Корчагин П.А.

зацепления для произвольной точки каждого из сопряженных профилей. Относительное скольжение зубьев сопровождается их износом /4/.

Коэффициенты удельного скольжения λ выражаются формулами /4/

где Vстк12 , Vстк21 - скорость скольжения (рис. 7.6);

Vкт1, Vкт2 - тангенциальные составляющие скорости перемещения

точек контакта по профилям зубьев первого и второго колеса. Скорости скольжения определяются по формулам /4/:

Используя полученные формулы, построим эпюры удельного скольжения (рис. 7.6)

Анализ полученных эпюр удельных скольжений для эвольвентных колес позволяет сделать следующие выводы /4/:

- для обоих профилей, в точках, лежащих на начальных окружностях, удельное скольжение равно нулю. На головках относительное скольжение положительное, а на ножках отрицательное. Скольжение происходит по

Разработал Корчагин П.А.

направлению к начальной окружности. Это видно также и из того, что на смазанных зубьях во время работы образуются поперечные полосы смазки

вточках, лежащих на начальных окружностях /6/.

-относительные скольжения на головке и ножке возрастают по мере удаления от начальной окружности. Удельное скольжение на ножке больше, поэтому ножка в эвольвентном зубе изнашивается сильнее, чем головка.

-для уменьшения износа необходимо, чтобы крайние точки активной линии зацепления не только не переходили за предельные точки А и В линии зацепления, но и не находились бы вблизи их /6/.

Рис. 7.6.

Разработал Корчагин П.А.