2. Декартово произведение.
Задача № 6. Составить прямое
произведение множеств
и
.
Доказать, что
.
Установить число элементов
.
Решение.
Найдем
:
.
Видно,что
не совпадают, например,
но
Находим
.
Заметим, что в этом случае
.
Это равенство верно и в общем случае.
Задача № 7. На координатной плоскости построить следующие множества:
а)
б)
Решение.
а) Первое множество помещаем на оси Ох, второе – на оси Оу. Очевидно, множество всех пар, т. е. прямое произведение, изображается точками заштрихованного квадрата (рис. 2).
Рис. 2 Рис. 3
б) Первым элементом пары может быть
любое число из R, вторым
– любое число из отрезка
.
Поэтому геометрическим изображением
прямого произведения
будет бесконечная полоса между прямыми
и
,
включая эти прямые (рис. 3).
Задача № 8. Дано
отношение 
в 
.
Определить, обладает ли это отношение
свойствами рефлексивности, симметричности,
транзитивности; если нет, то какими
парами надо дополнить это отношение,
чтобы оно обладало этими свойствами.
Решение.
Отношение 
не является рефлексивным, т. к. нет пар
и 
.
Этими парами надо дополнить 
,
чтобы оно стало рефлексивным.
Отношение 
не симметрично, т. е. не хватает пар 
,
,
.
Отношение 
не транзитивно, т. к. не хватает пар 
,
.
Задача № 9. Построить
график бинарного отношения в множестве
действительных чисел: 
Является ли это отношение отображением?
Решение.
Все пары
чисел, вступивших в отношение 
,
являются координатами точек плоскости,
лежащими либо выше прямой 
,
либо ниже прямой 
.
Поэтому график отношения 
является объединением двух полуплоскостей
(рис. 4).
Рис. 4
Задача № 10. Определить,
является ли отображением (функцией) в
отношение 
.
Если не является, то можно ли заменой
одной пары исправить положение?
Решение.
не является функцией,
так как содержит одновременно пары 
и 
(одному элементу 2 соответствуют
одновременно два различных элемента 1
и 3). Если заменить пару 
,
например, на пару 
,
то 
станет функцией,
притом сюръекцией.
Задачи для самостоятельного решения:
1.Записать (задать) следующие множества:
1) Множество целых чисел, больше 3;
2) Множество натуральных чисел, меньших 2;
3) Множество натуральных чисел, делящихся на3;
4)Множество действительных чисел, являющихся полными квадратами;
5) Множество рациональных чисел, не больших 2.
2. Установить вид отношений между множествами А и В (равенство, включение):
1) А – множество всех четных чисел;
В – множество натуральных чисел, делящихся на 8.
2)
.
3. Верно ли, что
?
Ответ обосновать.
4. Попробуйте указать множество, являющееся своим собственным элементом.
5. Приведите пример таких множеств
.
6. Приведите пример таких
множеств
удовлетворяющих
одновременно следующим условиям:
7. Для каждого положительного целого числа nуказать пример такого множества Аn, состоящего изnэлементов, что для каждой пары элементов множества Аnодин из элементов есть член другого.
8. Даны два множества:
Найти объединение, пересечение и разность этих множеств.
9.Рассмотрим следующие подмножества множества целых положительных чисел Z+:
А={
для
некоторого целого числаyx=2y},
В={
для
некоторого целого числаyx=2y+1},
C={
для
некоторого целого числаyx=3y}.
а) Опишите 
.
б) Проверьте, что
10. На диаграмме Венна для подмножеств А, В и С универсального множества Uпрямоугольник, соответствующийU, разбивается, вообще говоря, на восемь неперекрывающихся областей. Укажите, какие комбинации множеств А, В и С соответствуют каждой из этих областей.
11. Выписать элементы множества
{1,2}
{2,3,4}.
Каковы область определения и область
значений этого отношения? Что представляет
собой график?
12. Представьте отношение {<x,y>
в виде объединения четырех отношений,
а отношение {<x,y>
-
в виде пересечения трех отношений.
Занятие 9. Понятие функции. Графики основных элементарных функций.
Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:
1. Определение функции.
2. Область определения и область значения функции.
3. Операции над числовыми функциями.
4. Ограниченная сверху, снизу функция; ограниченная функция.
5. Способы задания функций.
6. Определение графика функции.
7. Определение сложной функции.
8. Определение обратной функции.
9. Элементарные функции и их графики.