Занятие № 1. Матрицы. Операции над матрицами.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Что называется матрицей.

2. Какие две матрицы называются равными.

3. Какая матрица называется квадратной, диагональной, единичной.

4. Как выполнить операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

5. Для каких матриц вводится операция умножения и правило ее выполнения.

6. Какие преобразования над матрицами являются элементарными.

7. Какую матрицу называют канонической.

Типовые примеры Действия над матрицами

Задача № 1. Даны матрицы

Найти матрицу D=(1)

Решение.По определению произведения матрица на число получаем:

Далее вычисляем выражение (1):

D=

Задача № 2. Найти произведение АВ двух квадратных матриц:

Решение.Обе матрицы являются квадратными матрицами 2-го порядка. Такие матрицы можно умножить, используя формулу

(2)

Формула (2) имеет следующий смысл: чтобы получить элемент матрицы С = АВ, стоящий на пересечении строки истолбца нужно взять сумму произведений элементов-ой строки матрицы А на соответствующие элементы-го столбца матрицы В.

В соответствии с формулой (2) найдем:

Следовательно, произведение С = АВ будет иметь вид:

Задача № 3.Найти произведение АВ и ВА матриц:

Решение.Согласно формуле (2),элементы матриц АВ и ВА будут иметь вид:

Вывод:Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, делаем вывод, что АВВА, т. е. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Задача № 4(устно). Даны матрицыСуществуют ли произведения (в скобках даны правильные ответы): АВ (да), ВА (нет), АС (да), СА (нет), АВС (нет), АСВ (да), СВА (нет).

Задача № 5.Найти произведение АВ и ВА двух матриц вида:

Решение.Приведенные матрицы видаследовательно, существуют произведения АВ и ВА данных матриц, которые будут иметь вид:

Задача № 6. Найти произведение АВ матриц:

Ответ:

_{Задачи для самостоятельного решения:}

1. Даны матрицы

Найти матрицу D=2А-4В+3С.

2. Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц:

3. Найти произведение матриц:

3. Найти произведение матриц:

3. Найти произведение матриц:

3. Найти произведение матриц:

7. Найти произведение матриц:

8.Найти матрицу: В=6А²+8А, если.

9. Дана матрица .Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.

10. Доказать, что если А - диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональная.

Занятие 2. Определители квадратных матриц и их вычисление. Обратная матрица.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Что называется определителем n-го порядка? Правила вычисления приn=1,2,3.

2. Свойства определителей.

3. Какая матрица называется невырожденной?

4. Какая матрица называется единичной?

5. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

6. Что является необходимым и достаточным условием для существования обратной матрицы?

7. Сформулировать правило нахождения обратной матрицы.

8. Ранг матрицы. Правила нахождения.

Типовые примеры Вычисление определителей

Задача № 1. Вычислить определитель:

а ) по правилу треугольника;

б) с помощью разложения по первой строке;

в) преобразованием, используя свойства определителей.

а)

б)

в)

Задача № 2. Найти минор и алгебраическое дополнение элементаa₂₃ определителяи вычислить его разложением по элементам строки или столбца.

Решение.

М₂₃; А₂₃

Задача № 3.Вычислить определитель с помощью разложения по 2 строке:

Ответ:

Задача № 4.Решить уравнение

Решение.

Задача № 5.Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:

Ответ: 63.